小小A4紙，也有大學問
——特級教師唐彩斌《A4紙的數(shù)學問題——點線面的平移旋轉(zhuǎn)拓展課》教學片斷賞析

文|徐明旭

小學數(shù)學領域的拓展課如火如荼地開展著，教師不僅努力在數(shù)學課中讓學生輕松學到數(shù)學知識和技能，還嘗試滿足他們的個性化需求。最近，筆者有幸聆聽特級教師唐彩斌的《A4 紙的數(shù)學問題——點線面的平移旋轉(zhuǎn)拓展課》，驚訝于他對單一情境素材的充分挖掘和設計精致課件改變課堂的魅力，令我久久難以忘懷。

片斷一：線動成面，學會動態(tài)地空間想象。

（課前播放點線面體的視頻，感悟點動成線、線動成面、面動成體、平移旋轉(zhuǎn)對稱的神奇變化）

師：今天我們來研究一張A4紙，你們知道A4 紙的大小嗎？

生：（用直尺測量）A4 紙的大小是21 厘米×29.7 厘米。

師：為了研究方便，我們約定A4 紙的寬20 厘米、長30 厘米。現(xiàn)在我們開始第一個挑戰(zhàn)。如果我把A4 紙的寬邊沿著長邊向右平移30 厘米，空中留下什么圖形？

生：長方形。

師：同樣以寬邊的一端旋轉(zhuǎn)一圈，會形成什么圖形？

生：圓形。

師：讓你們勇敢地猜一次，長方形大還是圓形大？（學生舉手表示猜的結(jié)果）請你用精準地計算驗證一下到底哪個大。

生：第1 題面積是20×30=600平方厘米，第2 題面積是π×202=1256 平方厘米。（π 取3.14）

師：當我們想的時候還想不出那么大的差別，現(xiàn)在我用一幅圖來驗證一下。請看，能看出哪個大嗎？

生：旋轉(zhuǎn)出來的大。

【賞析：著名的荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾在《作為教育任務的數(shù)學》一書中說：“從高層次看，幾何是數(shù)學的一部分，它是以公理系統(tǒng)的方式組織起來的；但從最低的基本層次上看，幾何則是對空間的理解。為了生活得更好，我們就必須了解、探索并征服我們所生存的空間。”在這節(jié)數(shù)學拓展課中，唐老師利用簡單的A4 紙表示數(shù)學中的幾何圖形，以運動的視角打通了計算領域與空間領域的教學目標：一是鞏固圖形面積和體積的計算公式與方法，二是發(fā)展學生的空間觀念。課堂伊始，唐老師利用幾何畫板制作點線面體的微視頻，不僅給予學生一場視覺盛宴，讓他們直觀地欣賞了點線面體之間的對稱美與和諧美，還瞬間點燃了他們的好奇心和求知欲，快速進入數(shù)學課堂。接著，唐老師用聊天的方式與學生一起認識了這張普通的A4 紙，并由一維的點線拓展到二維的平面，讓學生經(jīng)歷觀察猜想、計算驗證、直觀觀察等活動過程，引導他們通過計算發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)出來的面積比平移的面積要大。這個學習過程不僅幫助學生積累了數(shù)學活動經(jīng)驗，還發(fā)展了他們的空間觀念。】

片斷二：面動成體，學會全面地思考問題。

師：如果還是這張A4 紙，沿著與平面垂直的方向平移80 厘米，空中留下的是什么？

生：長方體。

師：還是這張A4 紙，沿著其中一條邊旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)出來的是什么？

生：圓柱。

師：相信你們的直覺，再猜一次哪個轉(zhuǎn)出來的體積大，哪個轉(zhuǎn)出來的體積小？（學生舉手表示猜的結(jié)果）趕緊動筆算一算，為了計算方便可以保留π。

生：3 號圖形是長方體，體積是30×20×80=48000 立方厘米，4號圖形是圓柱，體積是π×20×20×30=37680 立方厘米。

師：你們的計算能力真強。這位同學的結(jié)論是3 號圖形體積大。但有不同意見，你估計他們會是怎么想的？

生：還有一種情況是以這張A4 紙的寬邊旋轉(zhuǎn)，以這張A4 紙的長為底面半徑，旋轉(zhuǎn)出來圖形的體積是π×30×30×20=56520 立方厘米。

師：我們眼見為實，一個沿著A4 紙的寬邊旋轉(zhuǎn)，一個沿著A4紙的長邊旋轉(zhuǎn)，你們用眼睛能看得出它們的大小嗎？

生：看不出。

師：但是我們計算后很肯定沿著A4 紙寬邊旋轉(zhuǎn)的體積更大，現(xiàn)在我們與平移出來的長方體比一比體積，你有什么結(jié)論？

生：平移出來的長方體的體積比小的要大，比大的要小。

師：憑空是猜不出來的，所以精準計算才能得出正確結(jié)論。

【賞析：《數(shù)學課程標準（2011年版）》中指出：一維、二維和三維之間的相互轉(zhuǎn)換，恰是發(fā)展學生空間觀念的有益舉措。根據(jù)學生的認知心理和數(shù)學學科的特點，數(shù)學知識的學習難度是循序漸進的，在本節(jié)課的教學設計中也有充分體現(xiàn)。唐老師繼續(xù)帶領學生研究這張A4 紙的運動變化，通過平面平移出長方體、旋轉(zhuǎn)出圓柱等立體圖形，學生又一次經(jīng)歷了動態(tài)想象、體積計算、直觀觀察的過程，同時他們在理解“沿著長方形的一條邊旋轉(zhuǎn)一周”時引發(fā)了矛盾沖突，全班學生在思考中意識到要考慮沿著長邊旋轉(zhuǎn)和沿著寬邊旋轉(zhuǎn)這兩種情況，進一步促進學生養(yǎng)成仔細審題的習慣，學會全面地思考問題。前面一個環(huán)節(jié)中學生能夠用眼睛對比出兩個圖形的大小，但是在最后的眼見為實環(huán)節(jié)中卻無法用眼睛比較出圖形的大小，教師引導學生需要精確計算得出結(jié)論，體現(xiàn)了數(shù)學的嚴謹性和嚴密性。】

片斷三：局部旋轉(zhuǎn)，學會理性地數(shù)據(jù)驗證。

1.長方形里面三角形的旋轉(zhuǎn)。

師：還是這張A4 紙，沿著它的對角線分成了圖形A 和圖形B，請問哪個圖形的面積比較大？

生：一樣大。

師：一眼就看出來了，A 和B面積相等。現(xiàn)在沿著這張A4 紙的寬邊旋轉(zhuǎn)一圈，圖形A 旋轉(zhuǎn)出來的圖形和圖形B 旋轉(zhuǎn)出來的圖形哪個大，還是一樣？請你把理由寫下來。

生1：圖形A 和圖形B 旋轉(zhuǎn)都是立體圖形，看起來圖形B 大。

生2：如果圖形A 和圖形B 一起沿這張A4 紙的寬邊旋轉(zhuǎn)是圓柱，圖形A 旋轉(zhuǎn)出來的圖形是和圓柱等高的圓錐，而圓錐體積是整個圓柱的三分之一，剩下是圖形B的體積了，圖形B 的體積是圓柱的三分之二，所以圖形B 大。

師：那圖形B 的體積是圖形A 的體積的幾倍？

生：圖形B 的體積是圖形A的體積的2 倍。

師：現(xiàn)在我們眼見為實……

2.三角形的旋轉(zhuǎn)。

師：現(xiàn)在我們只研究圖形A，沿著其中20 厘米、30 厘米和36厘米的一條邊旋轉(zhuǎn)，你覺得沿著哪條邊旋轉(zhuǎn)的圖形體積最大？我們先直觀地猜一次，（學生都認為沿著最長邊36 厘米旋轉(zhuǎn)的圖形體積最大）這次大家的意見很一致。大家趕緊精準地計算一下這個圖形的體積，最后結(jié)果可以保留π。

師：四人小組討論一下，很多同學認為沿最長邊36 厘米旋轉(zhuǎn)出來的圖形體積最大，但是大家計算的時候遇到了很大困難，商量一下到底怎么算這些圖形的體積。

師：沿著邊長20 厘米和30厘米旋轉(zhuǎn)出來的這兩個圖形體積都沒問題，但是沿著邊長36 厘米旋轉(zhuǎn)出來的是什么圖形？

生：兩個圓錐。

師：我們展示一下，看看是否與你們想的一樣。這個高怎么算？它的體積是多少？

師：6000π、4000π、3468π，同樣一個三角形沿著不同邊旋轉(zhuǎn)，得到的三個圖形的體積是不一樣的。沒想到沿著最長邊旋轉(zhuǎn)得到的圖形體積反而是最小的。今天，如果讓你分享經(jīng)驗，什么決定旋轉(zhuǎn)出來的體積是最大的？

生：因為它的底面半徑是r 的平方倍，高只乘1 次，所以底面半徑是決定因素。

師：如果把這張A4 紙進一步轉(zhuǎn)化，比如再剪掉一塊，那變化出來的圖形就更多了。在生活中，薄薄一張A4 紙?zhí)N含的數(shù)學問題真多，只要注意觀察，生活中很多的數(shù)學問題都等待著你去解決。

【賞析：唐老師在設計教學時具有層次性，從研究A4 紙的整體到局部，符合學生的認知規(guī)律；數(shù)學知識的難度也逐漸增強，從最初的眼見為實到這個環(huán)節(jié)的眼見未必為實，利用不同的圖形和創(chuàng)設豐富的活動幫助學生從圖形變換的角度去計算立體圖形的體積，在解決問題中啟發(fā)學生智慧，發(fā)展空間想象能力和直覺觀察素養(yǎng)。

當然，“三角形的旋轉(zhuǎn)”屬于拓展延伸內(nèi)容，蘊含的思維含量超出了部分學生的接受水平；而且由于受A4 紙材料和學生的計算水平所限，這里的數(shù)據(jù)30 厘米、20 厘米、36 厘米都采用了近似數(shù)。但是，這個環(huán)節(jié)在唐老師層層抖包袱的過程中，學生從自信地認為沿最長邊旋轉(zhuǎn)出來的體積最大到計算沿最長邊旋轉(zhuǎn)圖形體積遇到困難，再到驚訝于發(fā)現(xiàn)沿最長邊旋轉(zhuǎn)的體積最小的過程中反思旋轉(zhuǎn)圖形的體積與什么有關，進而從數(shù)學本質(zhì)上掌握了與旋轉(zhuǎn)半徑和旋轉(zhuǎn)圖形的面積有關。】

回顧整節(jié)課的教學，唐老師在這節(jié)數(shù)學拓展課中充分用足了單一情境素材A4 紙，同時利用幾何畫板這個現(xiàn)代信息技術，不僅為教學活動提供了豐富的學習資源，還形成了生動的教學形式。在解決有關A4 紙的數(shù)學問題過程中，唐老師由線到面、由面到體帶領學生產(chǎn)生一系列數(shù)學問題，有利于提升學生的探究熱情、開闊學生的數(shù)學視野、激發(fā)學生的空間觀念。這節(jié)數(shù)學拓展課，唐老師的教學設計不僅承載著數(shù)學知識的應用和拓展，還承載著學科育人的價值：讓學生會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界，最終促進學生在抽象思考中形成幾何直觀，發(fā)展空間觀念和推理意識，真正讓數(shù)學核心素養(yǎng)在數(shù)學拓展課上落地生根，成為每個學生既喜愛又有收獲的數(shù)學學習活動。