以變導(dǎo)練，讓學(xué)生與數(shù)學(xué)相遇
——《相遇問題》教學(xué)

文|金妤茜

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版四年級下冊第70、71頁練習(xí)十一第4～10 題，思考題。

【教學(xué)過程】

一、舊知回顧

1.回憶基本數(shù)量關(guān)系。

師：上一節(jié)課，我們主要學(xué)習(xí)了相遇問題，回想一下，你對相遇問題有了哪些認(rèn)識？

生：相遇問題一般會涉及到兩個速度以及相遇時間，并且我們通過畫圖或列表等策略知道了要求相距路程，主要有兩種數(shù)量關(guān)系。

師：哪兩種呢？

生：一種是甲的路程+乙的路程=總路程，也就是：速度甲×相遇時間+速度乙×相遇時間=總路程；第二種是先算出速度甲+速度乙，然后用速度和乘相遇時間也等于總路程。

師：這兩種數(shù)量關(guān)系得到的結(jié)果相同，你想到了什么？

生：乘法分配律，其實，我們可以根據(jù)乘法分配律由一種計算方法想到另一種計算方法。

根據(jù)學(xué)生的回答，相機(jī)出示：

師：今天，我們就帶著這些已有的知識進(jìn)一步探索有關(guān)相遇問題的實際問題。

2.突出相遇問題關(guān)鍵要素。

師：下面三幅示意圖，分別是怎樣的相遇情況呢？根據(jù)左邊提供的信息，選一選吧。

生1：第一個信息，小星和小明同時從各自家中出發(fā)，說明起點(diǎn)不同，相向而行，也就是面對面走，所以選擇第三幅圖。

生2：第二條信息中兩輛卡車同時從一個工廠出發(fā)，一輛向東走，一輛向西走，是同一個起點(diǎn)，反向而行，第一幅圖正表達(dá)了這樣的意思。

生3：最后一條信息，小張和小李在環(huán)形跑道上跑步，兩人從同一地點(diǎn)出發(fā)，反向而行，10 分鐘后兩人相遇。環(huán)形并且是反方向，自然就是第二幅圖。

師：大家在選擇的過程中，有什么是需要關(guān)注的？

生：從這幾個例子中，我們發(fā)現(xiàn)觀察兩個物體的運(yùn)動，除了要注意速度的快慢、時間的長短與路程的遠(yuǎn)近這些數(shù)量，還要注意它們的運(yùn)動方向。

【思考：“練習(xí)十一”是在學(xué)生初步認(rèn)識“相遇問題”后安排的練習(xí)課，主要是對相關(guān)知識的鞏固和拓展，在練習(xí)之前勢必需要對基礎(chǔ)知識進(jìn)行回憶。于是課一開始教師直接提出“你對相遇問題有了哪些認(rèn)識？”引發(fā)學(xué)生對“相遇問題”基本數(shù)量關(guān)系的回憶，激活學(xué)生腦中有關(guān)相遇問題的關(guān)鍵要素：速度、時間和路程，緊接著讓學(xué)生根據(jù)文字描述選擇相應(yīng)的圖示，體會“方向”對于相遇問題的不可或缺性，從而為后續(xù)的變式拓展練習(xí)做好鋪墊。】

二、對比練習(xí)

1.比一比。

（1）嘗試分析。

①明明和紅紅同時從一條馬路的兩端出發(fā)，相向而行。明明的速度是65 米/分，紅紅的速度是60 米/分，經(jīng)過6 分鐘相遇。這條馬路長多少米？

②明明和紅紅同時從馬路的同一地點(diǎn)出發(fā)，相背而行。明明的速度是65 米/分，紅紅的速度是60 米/分，出發(fā)6 分鐘后兩人相距多少米？

師：仔細(xì)觀察，這兩題有什么相同和不同？

生：這兩題中明明、紅紅的速度、運(yùn)動時間都分別相等。

生：不過明明和紅紅的運(yùn)動方向不同。一題是不同起點(diǎn)，相向而行；一題是同一起點(diǎn)，相背而行。

師：理清了題意，你能畫出示意圖并列式解答嗎？

（2）自主解決。

（學(xué)生自主嘗試，全班交流匯報）

第①題

第②題

生1：剛才我們一致認(rèn)為這是兩道不同的題，但列式算法、答案怎么會是相同的呢？

生2：可以結(jié)合示意圖思考，第一題從兩個點(diǎn)相向而行，最后相遇，第二題從同一個點(diǎn)相背而行，越來越遠(yuǎn)。這兩題雖然行走方向不同，但從示意圖上看，相距路程都是兩人行走路程的和，都可以用速度和乘時間求出相距路程，所以解決這兩題的方法和算式是相同的，答案也都是750 米。

（3）再次嘗試。

師：再來看看下面這題，它與前兩題相比，答案還會一樣嗎？

③明明和紅紅同時從馬路的同一地點(diǎn)出發(fā)，同向而行。明明的速度是65 米/分，紅紅的速度是60 米/分，出發(fā)6 分鐘后兩人相距多少米？

生1：起點(diǎn)相同，方向一致，我們可以這么來表示。（出示下圖）

師：這樣的確描述出了題目中的意思。看著圖示，知道該怎么解決了嗎？

生2：從圖上看，當(dāng)兩人從同一地點(diǎn)出發(fā)，6 分鐘后兩人相距的米數(shù)其實就是紅紅比明明少走的路程。所以我準(zhǔn)備先分別求出兩人行走的路程再相減，得到的就是兩人相距的米數(shù)。

生3：聯(lián)系乘法分配律，我們還可以先求出1 分鐘紅紅比明明少行多少米，再求6 分鐘里紅紅比明明少走的路程，也就是兩人相距的米數(shù)。

生4：這樣的解法就是先求“速度差”，再乘時間，也能得到答案。

（4）回顧反思。

師：同學(xué)們，回顧剛才解決的三道類似的問題，有什么收獲？

生：行走方向相反時，相距路程或總路程其實就是路程和，用甲的路程+乙的路程或者速度和×?xí)r間來計算。

生：如果方向相同，相距路程就是路程差，可以用甲的路程-乙的路程或者速度差×?xí)r間來計算。

師：同學(xué)們，路程問題千變?nèi)f化，有相向而行、相背而行、同向而行，但是不管怎么相遇，我們只要看清方向，理清這個問題是求路程和還是路程差就可以了。

【思考：本環(huán)節(jié)設(shè)置了題組練習(xí)，一方面讓學(xué)生進(jìn)一步體會“方向”對于解決相遇問題的重要性，并在解決不同的問題中掌握不同的數(shù)量關(guān)系；另一方面，引導(dǎo)學(xué)生在不同中尋找相同，引導(dǎo)學(xué)生對問題解決的過程進(jìn)行觀察與比較、分析與綜合、抽象與概括，提煉出相遇模型背后所蘊(yùn)含著的結(jié)構(gòu)性知識：方向相反，相距路程或總路程就是路程和；方向相同，相距路程就是路程差。同時在解決問題的過程中，讓學(xué)生進(jìn)一步感受畫圖分析問題的優(yōu)越性，感悟解決問題的策略，積累解決問題的經(jīng)驗，提高分析和解決問題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識。】

2.練一練。

師：在我們的生活中也有不少相似的問題，你能試著解決這兩個問題嗎？

出示問題：

李阿姨和王阿姨共同編織一批中國結(jié)，28 天正好編完。李阿姨平均每天編18 個，王阿姨平均每天編23 個。

（1）這批中國結(jié)一共有多少個？

（2）王阿姨比李阿姨多編織多少個？

（學(xué)生自主完成，全班交流）

師：同學(xué)們在解決這個問題的時候，有沒有種似曾相識的感覺呢？

生：有，這個問題中每天編織的工作效率相當(dāng)于相遇問題中的速度，工作時間相當(dāng)于相遇問題中的時間，總數(shù)就相當(dāng)于相遇問題中的總路程，感覺和前面的相遇問題是一樣的。

師：原來我們不僅學(xué)會了解決相遇問題，還學(xué)會了解決與相遇問題類似的工程問題。

【思考：鄭毓信教授在《數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》中說：“數(shù)學(xué)教學(xué)的基本任務(wù)就在于幫助學(xué)習(xí)者逐步建立與發(fā)展分析模式、應(yīng)用模式、建構(gòu)模式和欣賞模式的能力。”新知掌握后的練習(xí)課是幫助學(xué)生“建模”的好時機(jī)。本環(huán)節(jié)先讓學(xué)生自主思考，繼而回味反思，在交流中發(fā)現(xiàn)工程問題其實也可以看作相遇問題，不知不覺地從相遇問題走向了工程問題，在這個過程中學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的整體性和連貫性，極好地培養(yǎng)了學(xué)生的模型思想。】

三、變式練習(xí)

1.梨花莊要挖一條600 米長的水渠，第一周挖了5 天，平均每天挖64 米。第二周準(zhǔn)備每天挖70米，還要挖多少天？

師：解決這個問題也可以用畫示意圖的方法整理信息，但金老師想讓大家挑戰(zhàn)一下，改用列表的方法來整理。請同學(xué)們把數(shù)學(xué)書翻到第71 頁看第8 題，先補(bǔ)充表格，然后完成解答。

生：我先把已知條件和問題整理下來，然后思考要求第二周還要挖多少天，就得知道第二周挖的總長度，而第二周挖的總長度得用水渠全長減去第一周挖的總長度。知道了第二周挖的長度，除以每天挖的米數(shù)，就是第二周挖的天數(shù)了。

師：原來這是一道逆向思考的問題。相信不少同學(xué)是用綜合算式來解決的，那就更厲害啦。

2.出示練習(xí)十一第10 題。

師：自主閱讀，動腦思考，說說你是怎樣想的，準(zhǔn)備怎么解決。

生：我是從條件想起。劉師傅每天加工81 個零件，那他7 天就能加工567 個；程師傅每天加工78 個零件，那他7 天就能加工546 個；趙師傅每天加工60 個零件，那她7 天就能加工420 個；然后分別看看哪兩位師傅7 天加工的零件和等于或者大于980 個，通過計算，劉師傅和趙師傅最接近，最合適。

師：從條件想起是個不錯的分析方法。還有其他想法嗎？

生：我是從問題想起的。7 天要完成980 個零件，那么每天至少要完成140 個才行，那我們就看看哪兩位師傅合作每天能完成140 個或以上，這兩位師傅就比較合適。通過計算，安排劉師傅和趙師傅共同完成比較合適。

師：條條大路通羅馬，不同的思考方法都能解決這個問題。

【思考：本環(huán)節(jié)的練習(xí)仍然圍繞相遇問題的本質(zhì)，變換形式和內(nèi)容幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識，既強(qiáng)化重點(diǎn)知識又具綜合應(yīng)用，學(xué)生在解決問題的過程中進(jìn)一步深刻理解所學(xué)知識，同時享受到學(xué)數(shù)學(xué)的樂趣。】

四、全課小結(jié)

1.回顧反思。

師：今天我們由相遇問題開始練習(xí)，還遇到了一些類似的，或有聯(lián)系又有差異的實際問題，它們都可以用相遇問題的相關(guān)知識去解決。研究到這里，你們有什么收獲？

生：通過今天的練習(xí)，我對相遇問題更加熟悉了，接下來如果再遇到相遇問題，我一定可以很快地解決。

生：今天的學(xué)習(xí)，我不僅學(xué)會了相遇問題，還學(xué)會了一些和相遇問題類似的其他問題。你們覺得我們今天研究的還只是相遇問題嗎？

生：我們通過一個問題的研究，掌握了相關(guān)聯(lián)的一類問題的解決方法，太神奇啦。

2.拓展知識。

師：除了在數(shù)學(xué)課上有這樣的“相遇問題”，生活中也會運(yùn)用到“相遇”原理。聽說過詹天佑嗎？他是中國首位鐵路總工程師，是“中國鐵路之父”。他在修建鐵路中就運(yùn)用了“相遇”原理，采用過“兩端對鑿法”和“中部鑿井法”開鑿隧道，大大縮短了工期！數(shù)學(xué)就是這么有效又有趣！

五、拓展練習(xí)

師：下面就來挑戰(zhàn)一下教材第71 頁有趣的思考題吧！

出示：小華和小明分別從一座橋的兩端同時出發(fā)，往返于橋的兩端之間。小華的速度是65米/分，小明的速度是70 米/分，經(jīng)過5 分鐘兩人第二次相遇。這座橋長多少米？

師：我們可以畫一條線段表示一座橋，那什么樣的相遇是第二次相遇？你能表示出在橋兩端之間往返到第二次相遇的路線嗎？

（學(xué)生自主嘗試后，PPT 動態(tài)演示相遇的情況，全班交流反饋）

生：從示意圖上可以看出，當(dāng)兩人第二次在橋上相遇時，行走的總路程是橋長的3 倍。根據(jù)相遇問題可以先求出兩人5 分鐘一共行走的路程，然后除以3，這樣就可以算出這座橋長225 米。

【思考：思考題的解決是對相遇問題的提升，不僅打破了學(xué)生的思維定式，讓學(xué)生體會應(yīng)根據(jù)不同的問題情境分析相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，也讓學(xué)生進(jìn)一步感受畫圖分析問題的優(yōu)越性，理解相遇問題的本質(zhì)。】

師：課的最后，金老師用一首兒歌總結(jié)一下今天的學(xué)習(xí)：

行程策略有個寶，

請你畫圖或列表；

兩點(diǎn)之間一條線，

明確方向最重要。

理清思路要記牢，

掌握方法列式好；

整理信息是關(guān)鍵，

學(xué)習(xí)就會變輕巧。