把握關系本質 促進思維發展
——《常見數量關系解決問題總復習》教學設計

文|劉賢虎（特級教師）

【教學內容】

人教版六年級下冊第78 頁。

【教前思考】

人教版教材對于“解決問題”內容的總復習編排篇幅較少，只呈現了兩個例題：例9 回顧解決問題的主要步驟，例10 用分數乘除法解決問題。實際上“解決問題”板塊還包括常見的數量關系，這是數與代數中數量關系的基礎，需要在總復習教學時加以關注。常見數量關系總復習的教學不能只停留在對各種類型解決問題的羅列再現，應該立足于數量關系的本質理解，注重各類問題數量關系之間的內在聯系與溝通；應該立足于數量關系的結構變換，注重把散亂、孤立的多個結構問題以結構演變的形式凝聚到簡要的結構模型中，幫助學生構建“簡結構，聚本質”的解決問題認知體系。

【教學過程】

一、對話交流，喚醒解決問題經驗

師：今天這節課我們復習的內容與解決問題有關。（板書課題）在這六年學習解決問題中，同學們獲得了很多經驗，那么解決問題第一步要干什么？

生：閱讀與理解。

師：不把事情弄清楚，不理解就無法解決問題。閱讀了、理解了，才有解決問題的基礎。那第二步該做什么？

生：畫圖、列表、分析、列式、解答。

師：這個過程我們就叫“分析與解答”。（板書）第三步呢？

生：還要驗算。

師：對，驗算，進一步“回顧與反思”。（板書）不僅僅是驗算，要回顧解決問題的過程，看看積累了怎樣的新經驗，還有什么要注意的問題。這就是我們解決問題的三部曲。你們有了很好的學習經驗，今天就借助這些經驗進行解決問題總復習。

【設計意圖：學生解決問題需要按一定的程序和步驟，學習了六年的解決問題，問題解決的步驟在學生大腦中烙下深深的印記。課始適時回顧，喚醒學生的學習經驗。】

二、梳理概括，理解數量關系本質

1.回顧梳理，逐步建立關系。

逐題出示以下題組：

（1）天問一號9 秒飛行多少千米？

（2）買6 千克蘋果需要多少元？

（3）a 分鐘做了多少個零件？

師：這個問題你能解決嗎？這個呢？需要補充什么信息？

生：第（1）題要補充1 秒飛行多少千米。（板書：1 秒？千米）

生：第（2）題要補充1 千克蘋果需要多少元。（板書：1 千克？元）

生：第（3）題要補充工作效率，也就是1 分鐘做多少個零件。

生：我同意第（3）題這樣補充。但是補充后不能得到一個具體的數字，只能用含有字母的式子表示。

師：要求上面這些問題，需要補充一些信息，你們發現補充的信息有什么相同點？

生：都是要補充1 秒、1 千克、1 分鐘的信息。

生：補充的都是1 份數的信息。

師：你善于概括。知道了1秒，就可以算出9 秒；知道了1 千克，就可以求出6 千克；知道了1分鐘，就可以求出a 分鐘。一句話概括，只要知道1 份數，就可以求出——

生：（齊）總數。

師：第（1）題有哪些數量？第（2）題呢？第（3）題？速度、單價、工作效率就是單位量，只要知道單位量，就可以求出路程、總價和工作總量，也就是總數或總量。前提是必須還要有數量，或者叫份數。

【設計意圖：呈現的題組屬于結構不完整、信息缺失的問題，涉及三組常見的數量關系。創設認知沖突，引發學生聚焦速度、單價和工作效率，發現其共性，概括得出“1 份數”，進而實現數量關系的抽象，初步形成簡要結構。】

2.縱橫聯系，構建關系模型。

學生接著思考以下問題：

（1）把上面幾題的數量變成小數、分數，你有什么發現？（寫一寫，算一算，說一說）

（2）你能把第（1）題變為兩步或三步解決的問題嗎？（編一編，寫一寫）

（3）請你解答所編的題目，你有什么發現？（寫一寫，算一算，說一說）

（學生獨立思考，協同學習。完成后交流匯報）

生：9 秒變成0.9 秒，求路程還是要用乘法。變成分數也一樣。

生：6 千克變成2.5 千克或者分數，求總價同樣要用單價×數量＝總價。

生：a 既可以表示整數，也可以表示小數、分數，數量關系還是工作效率×時間＝工作總量。

師：這里單位量和數量無論是整數，還是小數、分數，什么沒有變？誰來說說你的發現？

生：它們的數量關系沒變。

生：還是單位量×數量＝總量。

生：都可以理解為是求一個數的幾倍、幾分之幾是多少，所以都要用乘法計算。

師：大家的理解非常有價值，數字可以各不相同，但是數量關系和意義是一致的。第（1）題你是怎么編成兩步、三步問題的？

生1：我是這樣編的。天問一號3 秒飛行90 千米，9 秒飛行多少千米？

師：怎么解答？

生1：90÷3＝30（千米），30×9＝270（千米）。

生2：我編的是三步解決的。天問一號5 秒飛行100 千米，再飛行10 秒，一共飛行多少千米？

師：怎么解答？

生2：100÷5＝20（千米），10＋5＝15（秒），20×15＝300（千米）。

師：這兩題有什么相同和不同的地方？

生：都是要求路程，所以都要先算出速度，再用速度×時間＝路程。不同的是前面題目的時間已知；后面一題的時間未知，所以要先求時間。

師：誰聽明白了？

生：知道速度才能求路程，所以先算出速度。前一小題知道時間，就直接計算，后一小題沒有直接給出飛行時間，需要先計算時間。

師：大家一起看，3 秒大約飛行90 千米，我們并不知道1 秒的速度，所以必須求出——1 秒的速度。知道了“單位量”，就能夠找到——總量。在解決這個問題的時候，我們知道了“總量”——

生：又能推導出“單位量”。

師：解決這類問題時，就是在研究誰與誰的關系？

生：“單位量”和“總量”之間的關系。

師：這一題還能利用我們學過的什么知識解答？

生：我利用比例來解答。設9秒飛行了x 千米，90∶3＝x∶9。

師：你是怎么想到的？

生：因為這里的速度不變，也就是“單位量”不變，所以路程和時間成正比例，這樣等號兩邊都是路程∶時間。

生：還可以這樣列比例，x∶90＝9∶3。因為“單位量”不變，所以路程之間的倍比關系和時間之間的倍比關系是相等的。

師：原來六年級學習的正比例知識也是“單位量”和“總量”之間的關系，只不過呈現的形式不一樣。

【設計意圖：第（1）題從整數聯系到小數、分數，實現數量關系適用范圍的擴展。接著改編為兩步和三步的問題，通過比較，發現“單位量”不變時，“單位量”和“總量”之間的變化關系，初步感受常見數量關系的本質。】

3.發散思維，辯證統一關系。

師：在剛才的研究中，我們發現“單位量”都是不變的，總數隨著份數的變化而變化。還有沒有不一樣的變化？

生：我認為總數不變，也就是“總量”不變，“單位量”在變化。

師：請試著編一道“總量”不變，用兩步或三步計算的問題。

（學生編題后相互交流、檢查）

生：一批零件，李師傅每分鐘做80 個零件，5 分鐘可以完成。王師傅8 分鐘完成，他每分鐘做了多少個零件？

師：怎么計算？

生：80×5＝400（個），400÷8＝50（個）。

師：這道題的什么不變，什么變了？

生：這道題的“總量”是不變的，“單位量”是變化的。

生：小明去水果店買水果。如果全部買每千克6.4 元的蘋果，可以買5 千克。如果全部買橘子，則可以多買3 千克。每千克橘子多少錢？

生：這道題也符合要求，“總量”是不變的，“單位量”是變化的。6.4×5÷（5＋3）＝32÷8＝4（元）。

師：這道題還可以用什么知識解答？

生：我想到了用反比例的知識解答。設每千克橘子x 元，6.4×5＝（5＋3）x。

師：現在你對“總量”和“單位量”有了哪些新的看法？

生：我發現有時“單位量”是不變的，有時“總量”是不變的。不管怎么變，知道了“單位量”就知道了“總量”，知道了“總量”就知道了“單位量”。

生：原來我們學習的數量關系都是在研究“總量”和“單位量”之間的關系。

【設計意圖：換個角度思考問題，學生發現“總量”不變時，“單位量”和“總量”之間的變化關系。由“單位量”不變到“總量”不變，學生的認識逐漸豐富，對數量關系的理解更加深入，再次體會數量關系的本質。】

三、解決問題，應用數量關系模型

1.算一算，比一比。

（1）一列火車0.3 小時行駛37.5 千米，照這樣計算，1.5 小時可以多行駛多少千米？如果行駛450 千米要行駛多少小時？

（2）一列火車從甲地到乙地，如果每小時行駛125 千米，需要3.6 小時。現在需要提前0.6 小時到達，每小時要行駛多少千米？

師：第（1）題要注意什么？這兩道題有什么不同？

2.填一填，算一算。

六年級辦公室買進一包白紙，計劃每天用20 張，可以用28天。（ ），實際可以用多少天？

兩步解決：（ ）_________

三步解決：（ ）_________

最后用除法解決：（ ）

師：從兩步變為三步，你有什么好辦法？

生：補充實際每天用紙的張數信息，就是兩步解決。如果補充的信息是實際比計劃每天用紙多或少的張數，就需要三步解決。

生：把實際每天用紙的張數由直接信息變為間接信息就成為三步解決的問題了。

師：解決問題的步數不一樣，什么沒變？

【設計意圖：第1 題鞏固“單位量”與“總量”的變化關系，兩個小題分別對應不同的情況，通過橫向對比加深對數量關系本質的理解。第2 題學生先補充信息，應用數量關系進行解答，再通過兩步和三步問題的縱向對比，在不同中找相同，進一步理解關系。】

四、全課總結，拓展數量關系本質

師：通過今天的復習，你有哪些收獲？

生：我知道了常見的數量關系，如速度、時間、路程，單價、數量和總價，工作效率、時間和工作總量，單產量、數量和總產量，都可以理解為單位量×數量=總量。

生：知道了“單位量”也就知道了“總量”，知道了“總量”也就知道了“單位量”。單位量、數量、總量之間的關系，就是“單位量”和“總量”的關系。

師：大家都善于學習。“單位量”或“總量”是可以不斷變化的，有時“單位量”是標準，有時“總量”是標準。有了“單位量”就可以得到“總量”，知道“總量”也可以求出“單位量”，大家深切感悟到“單位量”和“總量”之間有重要的關系。希望大家在后面的復習中，不斷前后聯系、不斷深入思考，悟出新的道理！

【設計意圖：復習教學不但要溫故，把學過的知識再溫習一次；還要知新，通過聯系、比較，發現新的道理，收獲新的認識。】