“萬以內數的認識”教學前知識調查與啟示

文|陳 敏 呂瓊華

一、研究背景

學習取向的教學設計理論強調把學習者的已知看作教學的起點和最重要的因素。認知導向的教學（Cognitively Guided Instruction，簡稱CGI）強調兒童本身具有解決問題的直覺知識和非正式經驗，好的教學應當認識并發揮這些基礎，引導兒童主動學習、交流改進，真正的發展思維。近年來，“以學定教”的觀念越來越深入人心。有經驗的教師在備課時必然會考慮學生的起點進而對原教材的編寫作出反思，從而制定更切實際的教學目標并設計相應環節。但研究也指出，很多教師在做教學起點分析時，往往倚重經驗而忽視證據，或者泛泛而論，未能針對具體的課節主題等，因此影響教學的有效性。

“數的認識”是小學數學主要課程內容之一，其中認識自然數又是認識其他數的基礎。認識自然數最重要的有兩個方面。其一，認識自然數的構成，即認識到自然數的基本單位是1。其二，掌握最常用的自然數記數法——十進制記數法。這兩方面的認識并不是一節課就能完成的。當前我國各地使用的小學數學教材雖不盡相同，但對這一部分內容，各版本教材的序列安排基本一致，大致分四個階段完成：一年級上冊認識20 以內的數、一年級下冊時認數范圍擴展到100、二年級下冊學習萬以內的數、四年級上冊引進比萬更大的數，整體反思后形成對自然數結構以及十進制記數法的系統性認識。于是“萬以內數的認識”就變成一個很有意思的知識節點：在它之前，學生對較小自然數的讀、寫、組成有了一些基本經驗；在它之后，比萬更大的數，可以從萬以內（個級）數結構迭代的角度加以理解。那么，在這節課中，應該如何去認識和對待學生的學習起點。可以直接利用的是什么？需要幫助強化的是什么？以及，是否存在學生未能主動察覺，而需要教師創造任務去督促提升的“關鍵性概念理解（Key Development Understanding）”？

本研究擬針對“萬以內數的認識”開展學生起點調查，希望據此獲得一些教學和研究的啟示。一方面為教師有效教學自然數的認識，合理確定每一教學階段的特定目標積累資料；另一方面，也藉此反思一線教師在針對特定學習主題做起點分析時可能采取的策略和遭遇的問題。

二、調查方法

2022年3月初，我們邀請到本市一所公辦學校二年級下學期兩個班學生（共計74 人）參與我們的學情調查。調查以書面練習的形式進行，由所在班級數學教師協助組織練習，并回收練習卷，但不需要教師協助批改。

本調查主要考查學生基于生活經驗，以及先前對百以內數的認識，自發地對千以內、甚至萬以內數的認識達到了什么水平。全卷一共分四個大題，第1 題以填空的形式呈現，共五個小題，前面兩小題是教材和統考中非常常見的對于相鄰計數單位之間十進關系的提問，如10 個一百是（ ）；后面三小題主要針對過9 數發問，如199 加1 是（ ）；999 加1 是（ ）。第2 題考查數數技能，分別要求學生以1 為單位計數，從991 數到1000；再以10 為單位計數，從900 數到1000。第3 題以計算題形式呈現，實質為考查學生對計數意義的理解。根據有關研究，兒童對復合單位（composite unit）以及對復合單位進行協同的水平顯著影響兒童數概念的發展和四則運算理解能力等。所以我們嘗試圍繞十進制計數單位提供了4 類共8個算式：第1、2、3 個算式只涉及1 個計數單位的計數，如100×8；第5 個算式，100+1000，稍微復雜一些，涉及兩個計數單位的協同；第4 個算式（500×2）和第7 個算式（2000+3000）需要學生自己去分析整百、整千數的單位構成，算出結果；最后，第6 個算式（100×5+1000）和第8 個算式（100+1000×5），計算時應先分不同計數單位分別計數，再做不同單位之間的協同。練習卷的最后一題是開放題，詢問兒童在生活中是否見過1000 和10000，并要求他們作圖或文字說明具體情境。

參與調查的學生使用浙教版教材，在進行練習時，已經學習了百以內數的認識，尚未學習三、四位數的認識。練習卷的批改由本文作者1 完成，作者2 做了復核。

三、調查結果

第1 題，絕大部分學生掌握較好，除第（5）小題外，其他題目的正確率均接近甚至超過90%。

可以認為兒童已經了解了一些計數事實，但還沒有認識到背后的計數和記數結構，突出表現為大數的寫法出現問題，不確切知道過9 以后究竟產生了幾個0。

表1 計數單位和過9 數的掌握情況統計表

第2 題，學生1 個1 個計數三位數的正確率達到了98.6%，10 個10 個數的正確率也達到了90.5%。10個10 個數錯的學生，主要錯誤為：中間有漏數的情況，比如從950 跳過了960，直接到了970；有3 個學生把10 個10 個數，理解為了100、100 地數，直接寫了“900，1000”。

第3 題，學生的正確率如下圖。

以算式表征的單位計數問題的掌握情況統計圖

此次調查對象的表現同已有的兒童計數研究相比，既有一致的地方，也有自己的特點。整體而言，題目涉及到的計數單位越多，彼此協同的形式越復雜，答題的正確率就越低。錯誤率最高的正是預設中認為最復雜的第4 類問題，如100×5+1000，學生對此的回答可謂五花八門：5100、1500、1050、150、2000……而結果也表明，如果是一步計算，則無論是1 個計數單位計數（100），還是兩個計數單位相加（100+1000），包括要學生自己分析計數單位的（2000+3000 等），實際難度相當，正確率都超過80%；其中最高發的錯誤，還是在記數時究竟要寫幾個0，如這六個算式中正確率最低的第3（2）題，10×100，很多學生寫了100、10000，個別學生寫了110。這些情況提示我們，學生可能已經掌握了一些多位數計算的標準方法，但并沒有從數的意義的層面去推導答案。

第4 題，學生提供的包含1000 和10000 的具體情境可歸納為如下表2——

表2 學生自發接觸1000 和10000 的情境統計表

綜合以上，我們認為學生學習三、四位數的現實起點較為復雜，他們對計數和計算相關的程序性知識已超前掌握，對既有教材和測試中出現過的常規性問題達到了很高的正確率。但是，在計數和計算的概念性理解方面則存在盲點，需要加以關注，著重突破。

首先，對于三、四位數的讀、寫、數（shǔ），以及一些常規的相鄰計數單位之間的進率問題，兒童看似達到了相當高的正確率。但是，通過分析典型錯誤，就能發現他們在完成這些任務時，帶有很大的直覺成分、記憶成分。當數小于100 時，兒童讀數和寫數都不需要做結構化的考慮，隨著自然數的進一步增大，就需要在頭腦中慢慢建立起數位順序表，在數位、位數和計數單位之間建立起明確的聯系，就不會出現各種“0”的亂象了。

其次，從完成簡單的整百、整千數的計算情況來看，兒童對涉及多個計數單位的多個水平的計算存在一定問題。這不僅驗證了先前研究所指出的單位協同水平是兒童數概念發展的一大指征，提示我們在認數教學中要重視“單位”概念。我們應考慮到在非正式的學習場景中，認數和計算往往是兩個割裂的活動：填空說明數的組成意義是一回事，完成多位數的加減計算時又往往另教一套算法規則。在正式學習時，就要打破這種人為的割裂、機械的學習，創造機會讓兒童體驗以算式表征計數意義，據計數意義發明計算程序，以此發展學生的符號意識、推理能力，樹立積極的數學觀和數學學習觀。

最后，雖然在日常生活中，兒童也有很多機會接觸到1000 和10000 之類的大數，但比較多的停留在形式化的表征，比較少數量方面的真實感知，即使是數量方面的感知，也只模糊地和“很多”等同起來，缺少定量的刻畫。教學時既要充分依托這些兒童熟悉的日常景象，又要引導兒童結合計數知識分析數量構成，有理有據地推導出1000 和10000 件具體物品究竟是怎樣一種數量感受，溝通數與量的關系、數學與生活的關系，發展數學意識和數學眼光。

四、總結與討論

本次研究首先分析了教材關于自然數認識的整體安排，明確“萬以內數的認識”單元的特殊定位，在此基礎上參考過往習題和試題，以及一些數概念研究資料，編制了一份調查問卷，重點考查學生兩方面的儲備知識，一方面是百以內數的正式學習，一方面是關于三、四位數的非正式學習。結果發現學生關于讀數、寫數、計算等程序性知識掌握較好，而許多后繼學習需要的概念理解和思維經驗存在不足，由此概括出新課教學的三大目標：1.從逐位滿十進一的經驗到整體觀照學習過的數位，建構起“個級”的基本結構，養成按結構認數、讀數和寫數的意識和習慣。2.認數和計算相結合，經歷以算式表征計數意義，據計數意義推導計算結果的過程，積累依托數學符號進行思考和交流的經驗，發展推理能力。3.將數的認識與量的體驗結合起來，以現實量感進一步豐富對數的認識，借數的結構更好地分析數量多少，溝通數學與生活的聯系。

通過學前調查，可以更好地覺察學生真實起點與教材預期之間的距離，制定適應性的教學目標，設計針對性的教學任務，更好地體現學生是學習的主體，學習是學生思維成長的過程。

但是，我們也發現當前兒童學習的真實起點非常復雜，通過非正式的學習渠道，兒童對一些程序性知識普遍存在超前掌握的情況。若在學前調查中，再簡單依據教材常規的習題，以及過往高頻考題來編制問卷，往往會由一種形式化的掌握現象掩蓋掉他們在概念性理解方面的缺失。這就要求教師廣泛涉獵相關研究，對教學內容和兒童學習有深層次的理解，充分考慮調查問卷的信效度問題。只有在問卷具有良好信效度的前提下，收集到的學生知識才能作為制定教學目標和評價教學設計的有效證據。