基于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的習(xí)題設(shè)計

張仕祿 李裕青

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在學(xué)生的解題過程中、在學(xué)生數(shù)學(xué)知識技能的發(fā)展中，逐步形成的重要的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力。教師要關(guān)注習(xí)題設(shè)計，聚焦習(xí)題質(zhì)量，深入研究“習(xí)題設(shè)計”與“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”之間的聯(lián)系，是十分必要的。

例1：在一個不透明袋子中裝有8個大小一樣的球，其中有3個白球，5個紅球。現(xiàn)在從袋子中隨機摸出1個球，則“摸出紅球”和“摸出綠球”的概率分別是多少？它們相等嗎？

解題分析：本題考查學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力。邏輯推理能力主要包括兩類思維方向：①從特殊到一般，推理形式一般是歸納、類比;②從一般到特殊，推理形式一般是演繹。數(shù)學(xué)運算能力包括：理解運算對象、掌握運算法則、探究思路、設(shè)計算法，取得結(jié)果等。本題設(shè)計考查可能性的定義與概率公式，考查隨機事件的概率計算及概率定義。通過計算概率，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力。先分別計算摸出兩種不同顏色的球的概率，然后根據(jù)概率來判斷可能性的大小關(guān)系。

解題分析：不相等。理由：袋子中有白球3個，紅球5個，球的總數(shù)為8個。因此，“摸出白球”的概率是3/8，“摸出紅球”的概率是5/8。所以，摸出白球的可能性比摸出紅球的可能性要小。

解后反思：本題考查隨機事件、不可能事件發(fā)生可能性大小的比較，實質(zhì)是其概率大小的比較。求隨機事件概率大小要緊扣兩點：①符合條件的情況總數(shù);②全部情況的總數(shù)。

這兩個“總數(shù)”的比值就是隨機事件概率的大小，即概率P=n/m，其中m是總的結(jié)果數(shù)，n是該事件發(fā)生包含的結(jié)果數(shù)（即有利事件數(shù)）。

變式訓(xùn)練：考查事件的分類和定義。

變式1：在一個不透明袋子中裝有8個大小一樣的球，其中有3個綠球，5個紅球。則下列事件中是必然事件的是（ ）

A.從袋子中隨意摸出1個球是白球

B.從袋子中隨機摸出2個球，其中有紅球

C.從袋子中隨機摸出3個球，其中有綠球

D.從袋子中隨機摸出6個球，其中有綠球

解：袋子中沒有白球，故從袋子中不能摸出白球，所以選項A是不可能事件。袋子中有5個紅球，3個綠球，所以“從袋子中隨機摸出2個球，其中有紅球”與“從袋子隨機中摸出3個球，其中有綠球”均為隨機事件，而“從袋子隨機中摸出6個球，其中有綠球”為必然事件，故選D。

練后反思：在某種條件下，必然發(fā)生的事件，稱為必然事件;在某種條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件;在某種條件下，必定不發(fā)生的事件稱為不可能事件。

此外，本題還可以進行如下的變式訓(xùn)練，以達到促進學(xué)生熟練知識，掌握方法，提高能力，增強學(xué)科素養(yǎng)的目的。

變式2：以重復(fù)試驗的形式顯現(xiàn)，考查頻率的意義。

變式3：改編為涉及“兩個因素”的放回抽樣的隨機事件的概率問題。

變式4：改編為涉及“兩個因素”的不放回抽樣的隨機事件的概率問題。

變式5：改編為涉及“三個因素”的隨機事件的概率問題。

例2：求

的值。

這是典型的給角求值題型，考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的靈活運用。核心素養(yǎng)是通過利用誘導(dǎo)公式的化簡求值，由任意角的三角函數(shù)，通過誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力。（解題過程略）

此題還可進行如下變式訓(xùn)練：

變式1：已知tanx=2，求sinx，cosx的值。

變式2：（1）如果tanα=3，求

sin2α+cos2α的值。（2）如果tanα-sinα=n，tanα+sinα=m（α≠，k∈Z），求證：cosα=。

由上可見，將習(xí)題設(shè)計置于學(xué)生學(xué)習(xí)過程中，加強學(xué)科知識與核心素養(yǎng)的聯(lián)系，研究“習(xí)題設(shè)計”與“學(xué)生解題”的關(guān)系，體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)生、發(fā)展和逐步形成的完整過程，就是基于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的習(xí)題設(shè)計的內(nèi)在要求。

責任編輯 羅 峰