讓“猜想—驗(yàn)證”成為教學(xué)的主旋律

朱家浩　施李丹

[摘 要]“猜想—驗(yàn)證”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種重要數(shù)學(xué)思想方法與教學(xué)手段。在“猜想—驗(yàn)證”實(shí)施過(guò)程中存在學(xué)習(xí)方法無(wú)助化、教學(xué)過(guò)程形式化、學(xué)生思考被動(dòng)化等問(wèn)題。文章對(duì)人教版教材五年級(jí)下冊(cè)“3的倍數(shù)的特征”一課進(jìn)行“猜想—驗(yàn)證”的教學(xué)實(shí)踐，設(shè)計(jì)了三個(gè)“猜想—驗(yàn)證”的教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，通過(guò)方法從舊知遷至新知，教學(xué)從形式走向常態(tài)，學(xué)生從被動(dòng)變?yōu)橹鲃?dòng)三個(gè)方面進(jìn)行反思。

[關(guān)鍵詞]猜想;驗(yàn)證;3的倍數(shù)

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2022）08-0060-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力，進(jìn)行有條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過(guò)程與結(jié)果。由此可見(jiàn)，“猜想—驗(yàn)證”對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展具有重要作用。然而反思這些年的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，筆者發(fā)現(xiàn)“猜想—驗(yàn)證”過(guò)程中存在學(xué)習(xí)方法無(wú)助化、教學(xué)過(guò)程形式化、學(xué)生思考被動(dòng)化等問(wèn)題，這些問(wèn)題阻礙著猜想、驗(yàn)證活動(dòng)的有效開(kāi)展。

為了確保順利、有效地開(kāi)展猜想、驗(yàn)證活動(dòng)，讓學(xué)生積極參與課堂，貫徹“以學(xué)生為中心”的理念，筆者將“猜想—驗(yàn)證”的教學(xué)活動(dòng)融入人教版教材五年級(jí)下冊(cè)“3的倍數(shù)的特征”的教學(xué)。以下是整節(jié)課的課堂實(shí)錄與教學(xué)反思。

【課堂實(shí)錄】

一、勾連舊知，引入新課

師：2和5的倍數(shù)有哪些特征？

生1：2的倍數(shù)的特征是能被2整除，個(gè)位上是0、2、4、6、8。

生2：5的倍數(shù)的特征是能被5整除，個(gè)位上是0或5。

生3：2和5的倍數(shù)的特征是既能被2整除又能被5整除，個(gè)位上是0。

師：是的，這些就是2和5的倍數(shù)的特征。今天我們將要學(xué)習(xí)3的倍數(shù)的特征。

【設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生回顧2和5的倍數(shù)的特征，知道它們特征的推導(dǎo)方法，使學(xué)生在腦海中建立知識(shí)的表象，為之后學(xué)習(xí)3的倍數(shù)的特征埋下伏筆，同時(shí)使學(xué)生初步形成對(duì)其的猜想，并能想到一些驗(yàn)證之法。】

二、第一次“猜想—驗(yàn)證”，初步建立表象

師：怎么判斷一個(gè)數(shù)是否是3的倍數(shù)？

生1：只要看這個(gè)數(shù)能不能被3整除，能被3整除的就是3的倍數(shù)，不能被3整除的就不是。

師：確實(shí)是這樣的，那你能說(shuō)出3的倍數(shù)會(huì)有什么特征嗎？

生2：我認(rèn)為個(gè)位上是3、6、9的數(shù)是3的倍數(shù)。

生3：我認(rèn)為個(gè)位上是0、3、6、9的數(shù)是3的倍數(shù)。

師：老師也來(lái)猜一猜同學(xué)們是怎么想的。我猜你們是根據(jù)2或5的倍數(shù)的特征來(lái)推測(cè)的，所以認(rèn)為只要個(gè)位能被3整除就可以。（學(xué)生表示肯定）

師：那現(xiàn)在有了猜想，我們需要怎么做呢？

生4：驗(yàn)證。

師：是啊，任何猜想都需要驗(yàn)證才能說(shuō)它對(duì)與不對(duì)。誰(shuí)有方法驗(yàn)證它？

生5：可以舉一些例子，看看這些例子是不是符合我們的猜想，如果符合就說(shuō)明它是對(duì)的，如果不符合就說(shuō)明它是錯(cuò)的。

師：真棒！對(duì)于還不確定的結(jié)果，我們可以舉例子，舉例子是一個(gè)很好的驗(yàn)證方法。

師：那誰(shuí)來(lái)舉一些例子？

（學(xué)生列舉了6、12、9、30、45）

師：請(qǐng)觀察這些數(shù)，你有什么想說(shuō)的？

生6：我認(rèn)為之前的猜想都是錯(cuò)的，3的倍數(shù)的特征不是只有個(gè)位上是3、6、9的數(shù)，也有個(gè)位是0和5的數(shù)。

生7：我認(rèn)為3的倍數(shù)的特征跟2和5的倍數(shù)的特征不一樣，所以猜想也是錯(cuò)的。

師：通過(guò)舉例子發(fā)現(xiàn)之前的猜想都是錯(cuò)誤的，看來(lái)舉例子真的很有用，也很方便。

【設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生經(jīng)歷初次的猜想活動(dòng)，此次猜想是學(xué)生根據(jù)原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)而提出的，并通過(guò)自主舉例子的方式加以驗(yàn)證，這體現(xiàn)了知識(shí)遷移的重要性，同時(shí)也大大激發(fā)了學(xué)生的探究熱情。學(xué)生通過(guò)自己的探究驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)猜想是錯(cuò)誤的，這為之后猜想的調(diào)整做好了鋪墊。】

三、第二次“猜想—驗(yàn)證”，逐漸掌握本質(zhì)

師：仔細(xì)觀察這些數(shù)據(jù)的特征，你有什么新的猜想？

生1：我認(rèn)為個(gè)位上是0、3、5、6、9的數(shù)才是3的倍數(shù)。

生2：我認(rèn)為個(gè)位上不管是什么數(shù)都有可能。

生3：我也認(rèn)為個(gè)位上不管是什么數(shù)都有可能，但是我想補(bǔ)充，把個(gè)位和十位上的數(shù)字加起來(lái)要能被3整除。

師：對(duì)于這些猜想，有同意的嗎？說(shuō)一說(shuō)你的理由。

生4：我同意生3的猜想，比如12，我們可以看成1+2=3，3能被3整除，6可以看成06，0+6=6，6也能被3整除，其他的數(shù)也可以類(lèi)推。

生5：我也同意生3的猜想，個(gè)位有3的數(shù)，比如13就不能被3整除，所以生1錯(cuò)了，生3講的比生2的更完整。

……

師：同學(xué)們既有用舉反例的方法來(lái)驗(yàn)證猜想，也有用直接操作的方法來(lái)驗(yàn)證猜想，真是太了不起了！你們都說(shuō)生3的猜想是對(duì)的，那同意的同學(xué)請(qǐng)舉手。（絕大部分學(xué)生都舉手）

師：絕大部分同學(xué)都認(rèn)可生3的猜想，我們現(xiàn)在就能說(shuō)它是對(duì)的嗎？

生6：不能。這些例子太少了，有可能是碰巧的，我們還要舉更多的例子來(lái)驗(yàn)證。

師：是的。確實(shí)需要更多更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證猜想。這樣吧，老師給你們提供一張百數(shù)表，你們研究一下1到100的數(shù)，看看100以內(nèi)有哪些數(shù)是3的倍數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在原來(lái)錯(cuò)誤猜想的基礎(chǔ)上再次猜想，有了部分例子的支撐，學(xué)生開(kāi)始思考原先猜想錯(cuò)誤的原因，逐漸形成新的猜想，再用說(shuō)理、舉例子等方式驗(yàn)證猜想的正確性，使學(xué)生對(duì)“猜想—驗(yàn)證”環(huán)節(jié)有了更多的自主思考與探究。】

四、第三次“猜想—驗(yàn)證”，拓展延伸規(guī)律

教師先出示猜想“個(gè)位和十位上的數(shù)字加起來(lái)能被3整除的數(shù)是3的倍數(shù)”;然后下發(fā)百數(shù)表給學(xué)生，學(xué)生圈出所有是3的倍數(shù)的數(shù);最后展示學(xué)生作品。

教師出示標(biāo)好3的倍數(shù)的百數(shù)表（如圖1）：

師：個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字相加，和是多少？（學(xué)生計(jì)算）

師：你有什么想說(shuō)的？

生1：我發(fā)現(xiàn)它們的和都是3、6、9、12、15、18這幾個(gè)數(shù)，它們都能被3整除。

生2：我發(fā)現(xiàn)斜著的數(shù)字相加后得到的結(jié)果能被3整除。

生3：我發(fā)現(xiàn)相鄰的兩個(gè)3的倍數(shù)之間相差3。

師：你們說(shuō)得都很好，那我們一起來(lái)看一下它們相加的和。（如圖2）

師：驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)100以內(nèi)確實(shí)存在這樣的規(guī)律。那100以外呢？猜猜看。

生4：我猜把每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字加起來(lái)能被3整除就行了。

師：那是不是這樣呢？我們舉一些比較大的數(shù)，將每個(gè)數(shù)位加起來(lái)，看看是不是能被3整除。

（學(xué)生列舉765、1020、3822、48726，教師記錄）

師：我們用除法來(lái)驗(yàn)算它們是不是能被3整除。（學(xué)生計(jì)算）

師：你們的計(jì)算結(jié)果怎么樣？

生（齊）：都能被3整除。

師：看來(lái)這個(gè)結(jié)論同樣適用100以外的數(shù)。如果你有疑問(wèn)，下課可以再多舉一些例子。那誰(shuí)能來(lái)說(shuō)一下3的倍數(shù)有什么特征呢？

生5：能被3整除。

生6：將每個(gè)數(shù)位上的數(shù)加起來(lái)，和能被3整除。

師：是的。我們將運(yùn)用今天學(xué)到的知識(shí)進(jìn)行練習(xí)闖關(guān)，同學(xué)們有沒(méi)有信心？

生（齊）：有。

【設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生利用百數(shù)表驗(yàn)證猜想，通過(guò)自主探究發(fā)現(xiàn)100以內(nèi)3的倍數(shù)的數(shù)的特征，再將猜想延伸至100以外的數(shù)。組織學(xué)生通過(guò)舉例子的方式驗(yàn)證，結(jié)果發(fā)現(xiàn)100以外的數(shù)同樣適用此規(guī)律。到此，學(xué)生運(yùn)用“猜想—驗(yàn)證”的方式經(jīng)歷了結(jié)果的生成過(guò)程，牢固掌握了3的倍數(shù)的規(guī)律。】

五、練習(xí)總結(jié)（略）

【教學(xué)反思】

一、關(guān)注學(xué)生的前測(cè)數(shù)據(jù)，教學(xué)更具針對(duì)性

“3的倍數(shù)的特征”是學(xué)生認(rèn)識(shí)與掌握了2和5的倍數(shù)的特征之后所學(xué)習(xí)的內(nèi)容。對(duì)一個(gè)班的學(xué)生進(jìn)行前測(cè)，并主要呈現(xiàn)三個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考、回答。

問(wèn)題1：你能從1～30中找到3的倍數(shù)的數(shù)嗎？能寫(xiě)一寫(xiě)你的理由嗎？

問(wèn)題2：請(qǐng)你分別寫(xiě)一個(gè)三位數(shù)、四位數(shù)、六位數(shù)、十位數(shù)，判斷一下是否為3的倍數(shù)。

問(wèn)題3：你覺(jué)得3的倍數(shù)有沒(méi)有特征？說(shuō)一說(shuō)你的理由。

通過(guò)對(duì)前測(cè)數(shù)據(jù)的分析，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生明白如何判斷是否是3的倍數(shù)，但是受2和5和倍數(shù)的特征的影響，未能正確發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的特征，并且學(xué)生喜歡猜測(cè)結(jié)果。對(duì)此，筆者抓住學(xué)生愛(ài)猜測(cè)的心理，本節(jié)課重點(diǎn)放在學(xué)生的自主探究，采用“猜想—驗(yàn)證”的教學(xué)模式，分階段歸納出3的倍數(shù)的特征。

二、建構(gòu)“猜想—驗(yàn)證”的實(shí)踐活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力

1.猜想—驗(yàn)證：方法從舊知遷至新知

孔子云：“溫故而知新，可以為師矣。”這就體現(xiàn)出舊知對(duì)新知的重要性，在方法上亦是如此。本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了2和5的倍數(shù)的特征的探究方法與結(jié)論的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，學(xué)生經(jīng)歷的首次猜想并不是天馬行空的，而是依據(jù)原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生能將舊知的結(jié)論快速地遷移到新知的猜想上，這是一種好的猜想，后兩次的猜想是學(xué)生在錯(cuò)誤的猜想上建立的新猜想，是猜想的遷移。學(xué)生的三次猜想所運(yùn)用的驗(yàn)證方法都是舉例子，這也是探究2和5的倍數(shù)的特征時(shí)采用的方法，故方法間存在通用性。由此可見(jiàn)，在“猜想—驗(yàn)證”活動(dòng)的開(kāi)展過(guò)程中，方法的靈活遷移很重要。通過(guò)舊知遷至新知是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。

2.猜想—驗(yàn)證：教學(xué)從形式走向常態(tài)

教學(xué)的目的是讓學(xué)生提升知識(shí)、提高能力以及升華情感，但教師有時(shí)為了追求教學(xué)的進(jìn)度，會(huì)使猜想流于形式，大大弱化了猜想在教學(xué)中的作用。本節(jié)課安排了三次猜想活動(dòng)，使得學(xué)生整節(jié)課都處在“猜想—驗(yàn)證”中，自己提出的猜想由自己驗(yàn)證。經(jīng)歷多次“驗(yàn)證、否定、重建、再驗(yàn)證”的探究過(guò)程后，學(xué)生得到的不僅僅是學(xué)科知識(shí)，更是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力以及積極的情感。故筆者認(rèn)為“猜想—驗(yàn)證”應(yīng)該成為教學(xué)的常態(tài)，應(yīng)在日常的教學(xué)中普遍運(yùn)用，使其發(fā)揮更多的教學(xué)價(jià)值。

3.猜想—驗(yàn)證：學(xué)生從被動(dòng)變?yōu)橹鲃?dòng)

學(xué)生是課堂的主體，傳統(tǒng)的課堂是通過(guò)“師問(wèn)生答”或“滿堂灌”的方式展開(kāi)教學(xué)的，這大大削弱了學(xué)生在課堂中的作用，使得學(xué)生常常處在被動(dòng)的狀態(tài)，極大地降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。本節(jié)課加入“猜想—驗(yàn)證”環(huán)節(jié)，猜想給了學(xué)生在同一起跑線的機(jī)會(huì)，都是在對(duì)知識(shí)陌生的情況下表達(dá)自己的想法，所以猜想沒(méi)有好壞之分，也無(wú)須在意對(duì)錯(cuò)，只要能表達(dá)自己想法的就是好猜想。正是營(yíng)造了輕松的猜想氛圍，使得學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情大增，學(xué)生都變得愿意去猜想、搶著去猜想，主動(dòng)地參與教學(xué)活動(dòng)，在之后的驗(yàn)證過(guò)程中也更愿意表達(dá)想法，大大地增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，真正使“猜想—驗(yàn)證”成為教學(xué)的主旋律。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2] 馬艷芳.“3的倍數(shù)特征”教學(xué)探索與實(shí)踐[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版），2021（3）：39-41.

（責(zé)編 黃春香）