加縱肋無限長圓柱殼聲散射

2022-05-31 09:20:58童韞哲潘謝帆鄧紅超

船舶力學 2022年5期

關鍵詞：振動

童韞哲，潘謝帆，鄧紅超，吳錕

（1.水聲對抗技術重點實驗室，上海 201108；2.上海船舶電子設備研究所，上海 201108）

0 引言

水下航行器或航空飛行器的結構可以近似成有內部子結構的圓柱。按子結構對圓柱殼的作用方式，常見子結構可以主要分為周向加載子結構和縱向加載子結構，而加周期縱肋圓柱殼屬于縱向加載的子結構[1]。

近些年，有大量文章研究了周向加載不同子結構圓柱殼的聲散射問題，較典型的周向子結構是艙壁板[2-7]和環肋[8-12]。艙壁板和環肋對圓柱殼的作用可以分為軸向反力、徑向反力、切向反力和彎矩。軸向反力與切向反力只在剪切波和縱波的截止范圍內起作用，徑向反力則在剪切波和縱波截止角外大部分角度范圍內起重要作用，彎矩的貢獻很小并只在高頻起作用，在中低頻彎矩貢獻可以忽略[13]。當艙壁板或環肋軸向等間隔周期排列時，除了正橫附近能觀察到由圓柱殼體產生的縱波和剪切波外，在其它大部分角度范圍內存在由周期結構引起的Bragg 散射和Bloch-Floquet 波散射現象[8-9]。此外，潘安等[13]理論研究了同時加載艙壁板和環肋圓柱殼的散射問題，研究表明，在低頻段艙壁板劇烈的面外振動限制了因環肋引發的Bloch-Floquet彎曲波的傳播。

目前，對于縱向加載子結構圓柱殼的研究相對較少，對于實際工程中縱向子結構的研究主要針對鋪縱向加載子結構圓柱殼聲散射問題。Guo[14-15]理論計算了加載彈簧振子和鋪板圓柱殼的聲散射問題，研究表明，內部子結構最主要的作用是輻射亞音速的彎曲波；Klauson 等[16-20]研究了縱向加肋或隔板的圓柱殼散射問題，指出圓柱殼與內部結構物的銜接點能夠激發并輻射亞音速的彎曲波，并且殼體中的傳播波在銜接點會發生類型轉換。之后，童韞哲等[21]通過理論和實驗的方法研究了加剛性鋪板圓柱殼聲散射機理，研究表明，鋪板能夠使殼體中的亞音速彎曲波輻射到遠場。

縱肋與鋪板類似，都屬于縱向加載的子結構，其對圓柱殼的反力主要改變圓柱殼的周向振動狀態，引起周向模態的耦合。為了研究縱肋對圓柱殼聲散射的影響，本文首先導出加縱肋圓柱殼的表面徑向振速和聲散射場的解析解表達式。殼體振動采用薄殼理論的Donnell方程描述，考慮縱肋的縱振動和彎曲振動。通過周向模態展開和周期性條件導出在平面波激勵情況下的圓柱殼徑向振速及散射聲場的解析解表達式。在此基礎上，將周向模態看作對應的圓柱殼離散周向波數，數值計算離散周向波數頻率譜，并據此對圓柱殼彈性波的激發和再輻射進行分析，解釋遠場聲散射特征的形成機理。

1 理論分析

以圓柱殼中心為坐標原點，聲波的入射角為φ0和θ0，如圖1所示。設圓柱薄殼的中面半徑為a，殼體厚度為hs，且hs/a?1，楊氏模量為Es，泊松比為σs，密度為ρs，縱肋橫截面的高和寬用大寫字母H和W表示。殼體浸沒在密度為ρf，聲速為cf的流體介質中。

圖1 無限長縱向加肋圓柱殼示意圖Fig.1 Geometry of infinitely long cylindrical shells with lengthwise ribs

1.1 外部聲場方程

省略時間因子e-iωt，入射聲波可以寫成

式中，K=kfcosθ0，γ=kfsinθ0，kf=ω/cf，ω為入射聲波的角頻率，Jn是第n階貝塞爾函數。外部流體總聲場為

式中：prig為散射聲場的剛性部分，主要包含目標外表面的幾何信息；pres為散射聲場的彈性部分，主要包含目標的材料屬性和內部結構信息。

式中，Hn是n階第一類漢克爾函數，w?n是徑向振速的模態展開，并且w?n=-iωwn。

1.2 殼體振動方程

圓柱殼運動分別通過軸向、周向和徑向位置表示，其模態展開為

殼體振動的控制方程采用Donnell方程，將公式（5）代入控制方程，得到n階振動滿足的控制方程，具體推導過程參見文獻[26]。

式中，J=a2/ρschs是常數，系數矩陣L(n)見附錄A。Pn是剛性表面總聲壓的展開系數，Z是圓柱殼n階模態輻射聲阻抗，fzn和fwn是縱肋縱振動和彎曲振動對圓柱殼反力的展開系數。

1.3 縱肋對圓柱殼的反力

當肋很細時縱肋扭轉振動的作用相當于四極子源，可以忽略。只考慮縱振動和彎曲振動的反作用力，單根縱肋的縱振動和彎曲振動方程可以寫成

設沿圓周布有T根縱肋，第l根縱肋位于φl，得到縱向和徑向總作用力為

利用三角函數的正交性得到總作用力的周向n階模態展開系數為

此式表明n階展開系數與n'階振速有關，這是縱肋導致周向模態的耦合，其中：

n'=n時為n階自阻抗否則為互阻抗。φl是第l根縱肋的圓周角，在均勻分布的情況下，縱肋間隔Δφ=2π/T。為簡單起見，當縱肋均勻分布時設φl=0，利用等比級數求和的公式得到

令n'-n=mT，對n'的求和可以換成對m求和。當縱肋與殼體銜接時肋骨振速應該等于圓柱殼體的振速，因此有

若只考慮自阻抗不考慮互阻抗，則上式退化成

將公式（16）代入公式（6）可解出

其中Mij是矩陣L(n)對應的行列式|L(n) |中元素Lij的余子式。和分別是軸向力和徑向力產生軸向振動u?n的機械阻抗和分別是軸向力和徑向力產生徑向振動w?n的機械阻抗。仿照文獻[25]的方法引入算子S{·}可以解出w?n，詳細請見附錄A，最后將w?n代入公式（4）得到散射聲場。把散射聲場寫成形態函數的形式：

式中，Ω=kfa是歸一化頻率，是柱面波傳播規律，r是距離是按半徑a歸一化量，本文的計算結果會以背向散射聲場形態函數f的形式給出。

2 數值計算和結果分析

基于以上理論分析，通過數值算例說明縱向加肋后對水中圓柱殼聲散射特性的影響。圓柱殼體的基本參數：a=8 mm，殼厚半徑比為hs/a=1.38%，殼體內部均勻排列了T根縱肋。殼體與縱肋材料一致，密度ρs=7850 kg/m3，楊氏模量Es=210 GPa，泊松比σs=0.3；縱肋橫截面寬W=0.4 cm，縱肋橫截面高H=0.8 cm。水的密度ρf=1000 kg/m3，聲速cf=1500 m/s。

2.1 加縱肋圓柱殼中的共振頻率分析

本文研究的縱肋沿周向均勻分布，縱肋對圓柱殼的反力主要改變周向振動狀態，因此引起周向模態的耦合。為了分析縱肋對殼體振動的影響，首先考慮聲波正入射情況（θ0=90o）。對于Donnell 方程描述的無限長圓柱殼，殼體中的彈性波可以分為縱波、彎曲波和剪切波，而聲波正入射時殼體中不存在剪切波。由公式（4）可知，結構的彈性回波由殼體的徑向振速w?n決定。為了分析縱肋對殼體振動的影響，本文將n/a看作離散周向波數（因為n只能取整數），取w?n的分貝值20log10| |w?n，畫出了殼體徑向振速的離散周向波數頻率譜，如圖2所示。

圖2 的橫坐標是歸一化頻率Ω，取值范圍是1～10；縱坐標是離散周向波數，取值范圍是-800～800 m-1。白色虛線是水中聲波波數，白色虛線內的區域是可高效輻射的超音速波，在超音速區域內的黑點是縱波在圓柱殼周向發生共振形成的。在本文的計算頻段（1＜Ω＜10）內，縱波波數小于水中聲波波數，根據Snell 定律，聲波可以在臨界角θc=sin-1（ks0/kf）進入殼體表面[26]，其中ks0是縱波波數。由于彎曲波波數大于水中聲波數，彎曲波對應的臨界角大于90o，無法在殼體的光滑處激發，如圖2 所示。所以，基本圓柱殼的散射聲場中無法觀察到彎曲波特征。

圖2 基本圓柱殼離散周向波數頻率譜圖（白色虛線標出了水中聲波波數±kf）Fig.2 Discrete circumferential wavenumber spectrum of radial displacement in decibels (dB) for an unribbed cylindrical shell

圖3 計算了聲波入射角不同時加單根縱肋（T=1）圓柱殼的離散周向波數頻率譜圖，此時，縱肋位于φl=0o。聲波入射角φ0=0o時縱肋處于亮區，φ0=180o時縱肋處于影區。可以看出，無論縱肋處于亮區還是影區，在離散周向波數頻率譜中都能觀察到彎曲波及其周向共振形成的亮點。不同之處在于，亮區的縱肋激發的彎曲波能量較大，而影區的縱肋激發的彎曲波能量較小。在聲波的激勵下，殼體的振動帶動了縱肋的振動，縱肋對殼體的反力激發了殼體中的彎曲波。圓柱殼的亮區受聲波直接照射，相比于影區振動幅度更大，因此亮區的縱肋對殼體的反力也更大[21]。所以，當縱肋處于亮區時，其激發的彎曲波能量更大。

圖3 加單根縱肋（T=1）圓柱殼離散周向波數頻率譜圖（白色虛線標出了水中聲波波數）Fig.3 Discrete circumferential wavenumber spectra of radial displacement in decibels (dB)for a cylindrical shell with one rib(T=1)

當縱波波數與歸一化頻率滿足Ω=nkf/ks0，縱波會在圓柱殼周向達到駐波狀態，形成強烈共振[24]，圖2 中白色虛線內的黑點是由縱波的共振產生。因為縱波是超音速波，形成共振狀態的縱波能夠在殼體表面光滑處高效輻射到遠場[23]，并在遠場聲壓形態函數頻譜中形成共振谷，如圖4 所示。圖4 給出了正入射時，基本圓柱殼與加單根縱肋圓柱殼散射聲場形態函數頻率譜對比圖。與縱波一樣，當彎曲波波數ka0與歸一化頻率滿足Ω=nkf/ka0時，彎曲波也會在圓柱殼周向達到駐波狀態，形成強烈共振。如圖3所示，無論縱肋處于亮區還是影區，縱肋對殼體的反力都能激發殼體中的彎曲波并在周向形成共振。不同于縱波，由于彎曲波是亞音速波而無法在殼體光滑處高效輻射到遠場，只能通過縱肋與圓柱殼的銜接點再輻射[21]。

圖4 基本圓柱殼與加單根縱肋圓柱殼遠場聲壓對比圖Fig.4 Comparison of backscattering form function between ribbed(T=1)and unribbed cylindrical shells with different incidence angle

基于圖3中因彎曲波共振產生亮點的位置，在圖4中用黑色虛線標出了彎曲波的共振頻點。對比圖4（a）和（b）可以看出，當φ0=0o時，形成共振的彎曲波能夠通過縱肋與圓柱殼的銜接點高效輻射到遠場，并在遠場聲壓形態函數頻譜圖中形成共振特征。當φ0=180o時，影區處縱肋與圓柱殼的銜接點同樣能夠高效輻射彎曲波，不同的是由于縱肋處于影區，對背向散射聲場的影響較弱[21]。

2.2 縱肋數量對散射聲場的影響

由前文的理論建模可知，縱肋對殼體的阻抗可以分為自阻抗和互阻抗。自阻抗主要體現了縱肋的附加質量，附加質量能夠影響圓柱殼中縱波和彎曲波的相速度；而互阻抗主要體現了縱肋均勻分布對圓柱殼的影響[22]。本文研究的是加縱肋圓柱殼的聲散射問題，縱肋數量的不同必然導致附加質量和分布的不同。為了研究縱肋數量對散射聲場的影響，本節分別分析縱肋的自阻抗和互阻抗對散射聲場的影響。圖5給出了隨縱肋數量增加，入射角θ0=90o，φ0=0o時加縱肋圓柱殼聲散射形態函數頻率譜，及忽略互阻抗和考慮互阻抗的情況對比。

由圖5 可以看出，當縱肋數量較少時，忽略互阻抗的遠場聲壓形態函數與基本圓柱殼幾乎一致，互阻抗對散射聲場起主要作用。因為縱肋較少時，縱肋的附加質量相比于殼體質量較小，對殼體中的縱波和彎曲波的相速度影響很小。此時縱肋對彎曲波的激發以及再輻射是散射聲場的主要特征。隨著縱肋數量的增加，遠場聲壓中的彎曲波共振特征逐漸減少，互阻抗對遠場聲壓的影響也逐漸減少。因為當縱肋分布密集時，縱肋對殼體的反力阻礙了殼體的彎曲振動[1]。縱肋數量的增加也導致了結構附加質量的增加，改變了殼體中縱波的相速度，使縱波共振峰發生偏移。當縱肋數量進一步增加時，互阻抗對散射聲場的貢獻逐漸減小，遠場聲散形態函數中因互阻抗引起的彎曲波特征逐漸消失，僅縱肋的附加質量對遠場聲壓有貢獻，如圖5（d）所示。

圖5 加不同數量縱肋圓柱殼散射聲場形態函數頻率譜對比圖Fig.5 Comparison of backscattering form function from a cylindrical shell with different number ribs

2.3 斜入射情況，θ0≠90o

無限長基本圓柱殼的背向散射聲場特征主要集中在正橫附近，一部分是高幅值幾何散射，另一部分是殼體的彈性波。殼體的彈性波具有截止角的縱波和剪切波，截止角為θs=cos-1（cf/cs），θT=cos-1（cf/cT），cs和cT是縱波和剪切波的相速度，其表達式見附錄A。由前文的理論分析可知，縱肋對圓柱殼散射聲場的主要作用是激發和再輻射亞音速的彎曲波。為了分析斜入射（θ0≠90o）時縱肋對散射聲場的影響，分別計算了φ0=0o和θ0=85o，65o，45o時加單根縱肋圓柱殼的背向散射形態函數頻率譜，此時縱肋始終處于亮區，計算結果如圖6所示。

圖6 斜入射時散射聲場形態函數頻率譜對比圖Fig.6 Comparison of backscattering form function from a ribbed(T=1)cylindrical shell at oblique incidence

根據本文使用的材料參數，縱波和剪切波的截止角分別為θs=73.9o，θT=62.1o。入射角θ0=85o時，縱波和剪切波都能被入射聲波激發；入射角θ0=65o時，入射角小于縱波截止角而大于剪切波截止角，只有剪切波能被入射聲波激發；入射角θ0=45o時，入射角小于剪切波截止角，縱波和剪切波都無法被入射聲波激發。對于基本圓柱殼，當入射角大于兩個截止角時，除了在縱波和剪切波的共振頻率，遠場聲壓隨頻率的變換較平緩，如圖6（a）和（b）的黑色實線所示。加縱肋后，遠場聲壓隨頻率劇烈變化，縱肋激發和再輻射的彎曲波形成的共振成為散射聲場的主要特征，此時縱波和剪切波的大部分散射特征被彎曲波共振掩蓋。對于基本圓柱殼，當入射角小于剪切波和縱波截止角時，無任何彈性波輻射到遠場，遠場聲壓隨頻率的變化是一條平滑的曲線。值得注意的是，加縱肋后，仍然能觀察到因彎曲波共振引起的遠場聲壓隨頻率的劇烈變化，這是因為亞音速彎曲波的再輻射機理與縱波和剪切波的再輻射機理不同。縱波和剪切波是超音速波，根據Snell 定律，縱波和剪切波能在臨界角內通過相位匹配的方式高效輻射聲能。而彎曲波是亞音速波，只能通過縱肋與圓柱殼的銜接點輻射聲能，這種輻射機理不存在臨界角。實際上，縱波和剪切波也能通過縱肋與圓柱殼的銜接點輻射聲能。然而在同樣輻射機理的情況下，彎曲波輻射對聲場的貢獻遠大于其它彈性波[25]。

3 結論

艙壁板和環肋沿圓柱殼縱向分布，其所產生的反力主要改變圓柱殼的縱向振動狀態，引起縱向模態的耦合；而縱肋沿圓柱殼軸向分布，其所產生的反力主要改變軸向振動狀態，引起軸向模態的耦合。為了研究縱肋對圓柱殼聲散射的影響，本文在圓柱殼的周向使用模態展開和周期條件導出了平面波正入射時圓柱殼表面位移和遠場聲壓計算公式。數值計算給出了殼體徑向位移的離散周向波數頻率譜和背向散射形態函數頻率譜，通過分析分別解釋了縱肋的附加質量及其分布對殼體中彈性波的影響，并以此為基礎深入分析了背向散射聲場中的特征。研究表明：

（1）在本文研究頻段（1＜Ω＜10），聲波正入射時只能直接激發殼體中超音速的縱波。加縱肋后，縱肋對圓柱殼的反力能夠激發殼體中亞音速的彎曲波。對于超音速的縱波，其振動能量能直接在殼體光滑處通過相位匹配的方式高效輻射到遠場，在聲壓形態函數中形成共振特征。

（2）縱肋數量較少時，縱肋對圓柱殼散射聲場的主要作用是激發及輻射亞音速的彎曲波。隨著縱肋數量的增加，縱肋附加質量也增加，這不但使縱波共振谷發生了偏移，還影響了遠場聲壓形態函數頻率譜中彎曲波的共振特征。當縱肋數量足夠大時，縱肋附加質量對縱波共振谷的影響成為加縱肋圓柱殼散射聲場中的主要特征。

（3）斜入射時，若入射角大于縱波和剪切波的截止角，基本圓柱殼和加縱肋圓柱殼中的縱波和剪切波都能被入射聲波激發并高效輻射到遠場。加縱肋后，縱肋激發和輻射的彎曲波在遠場聲壓中起主要作用，縱波和剪切的特征被抑制。若入射角小于縱波和剪切波的截止角，縱波和剪切波均無法輻射到遠場，遠場聲壓中只能觀察到通過縱肋與圓柱殼銜接點輻射的彎曲波特征。