水下機械手水動力學分析及控制方法研究

裴香麗，田 穎，張明路

（河北工業大學，天津 300130）

0 引 言

隨著工業化步伐加快，人們對海洋資源的勘探與開發日益深入，在高壓、高鹽度、高腐蝕性的極端海洋環境中，水下機械手正在逐步代替人工完成資源勘探、管線檢修、海洋地貌檢測、目標追蹤等工作[1]。為了使水下機械手能夠更加精確地高效作業，研究人員嘗試提出了各種不同的控制方法[2]。

一些研究者基于水下機械手的動力學模型采用了經典控制方法，如PID 控制[3-4]、最優控制、確定性反饋控制[5]等；其他研究者則提出了智能控制方法，包括模糊控制[6-7]、滑模控制[4]、魯棒控制[8]等控制方法等；也有研究者根據實際需求，將以上方法進行融合或改進，如自適應滑模PID 控制[4,9-11]、模糊滑模控制[12-13]等。但大多數控制方法將水流影響視為外部干擾[4,7,11]，或直接將工作環境簡化為靜水環境[6,12]，導致控制方法適用的水體環境與實際環境存在較大差距，影響了水下機械手控制精度和作業效率。基于以上考慮，本文提出建立定向流影響下的水動力學模型，進而得到基于水動力學模型的機械手動力學模型。利用RBF神經網絡對浮力部分、水阻力和附加質量力部分分別進行在線逼近，利用魯棒自適應控制律對時變參數以及非結構非線性不確定性的影響進行補償，提高系統的穩定性。

1 水下機械手水動力學模型及仿真

水下機械手受到流體造成的浮力、水阻力、附加質量力等因素的影響，其動力學模型較為復雜，已知的研究大多采用半理論、半經驗的方法將部分水動力學參數融入到機械手的動力學方程中，最終獲得水下機械手動力學模型[14-15]。本文考慮定向流對水下機械手的影響，基于Morison 公式建立水下機械手的水動力學模型并進行仿真。

1.1 水下機械手簡化模型

本研究針對的研究對象為雙臂水下機械手。由于雙臂水下機械手運動范圍大、靈活度高，成本較低，相較于單桿機械手和多桿機械手應用更為普遍，具有典型性和代表性。圖1為雙臂水下機械手結構簡圖，將桿1 和桿2 視為勻質剛性桿，且兩桿之間為鉸接副。

圖1 水下機械手結構簡圖Fig.1 Diagram of manipulator structure

1.2 雙臂機械手的水動力學模型

當單個剛性桿在有流液壓環境中運動時，其受到水流的作用力在單位長度上的大小表示為

式中，Fd為水阻力，Fm為附加質量力，Ff為浮力，Fl為升力。由于升力Fl與物體是否存在翼型沖角結構有關，此處水下機械手無此結構，故忽略不計；水阻力Fd為剛性機械手進入黏性流體中受到的沿著來流方向的阻力；附加質量力Fm是機械手加速運動時受到的黏性水流的反作用力；流干擾下的水阻力Fd和附加質量力Fm利用Morison公式計算，其矢量形式為

式中，Cm表示附加質量力系數，Cd表示水阻力系數，ρ表示黏性流體的密度，D表示等效面積，A表示垂直于來流方向的投影面積。

由于直接計算剛性機械手在定向流干擾環境下的水阻力和附加質量力矩較為復雜，故將其簡化為兩部分，分別計算剛性機械手在靜水中攪水受力（圖2（b））和定向流中以任一位姿靜止受到的黏性水流沖擊力[15]（圖2（c））。

圖2 單個運動體的水動力分解示意圖Fig.2 Schematic diagram of hydrodynamic decomposition of a single moving body

運動體以T1為瞬時轉動軸做旋轉運動，θ1為運動體軸線方向與x軸的夾角，角速度ω1=θ?1。在運動體上取一個微段，微段到旋轉軸的矢量為r1。微段的線速度方向與運動體軸線垂直，即V0=ω1×r1。

首先考慮桿1 在靜水環境下，運動體自身運動攪水受力。運用式（2）計算微段受力，沿著運動桿件軸線方向積分得到合成力矩。

其次，運動體自身保持任一位姿不變時，水流沖擊引起流體與桿件的相對運動，考慮水流定向流動，設水流的速度為u，將水流簡化為若干不計大小、形狀的質點，則水質點的速度為u，運動體軸線方向的單位矢量e=[ex ev ez]T。ex=cosθ1，ev=sinθ1，ez=0。將水質點的速度在坐標系O-XYZ下按三個坐標軸方向分解，則u=[ux uv uz]T，將水質點的速度轉換為垂直于桿件軸線的速度v。

代入式（2）計算合成力矩為

分析計算桿2所受的水動力，根據圖1建立雙臂機械手的D-H坐標系如圖3所示，采用與桿1相同的方法分析并計算桿2的水動力。

圖3 機械手坐標簡圖Fig.3 Manipulator coordinate diagram

首先考慮靜水環境下，桿L2繞著Z1旋轉，并隨著L1繞Z0復合運動，在桿2 上取微段。此時l為微段距離桿2 關節坐標系OX1Y1Z1原點距離。

桿2 繞Z0旋轉速度vz0=ω1×rz0=，其中，rz0為微段到z0軸的距離，折算vz0垂直于桿2 軸線方向上為vnz0=vz0cosβ1，β1為L2軸線與rz0的夾角且β1= arccos((l2+r-l1)/(2lrz0))。

關于關節軸Z0求解的合成力矩為

考慮耦合因素影響，當L2繞軸Z0旋轉時，L2所受水阻力對Z1軸產生的合成力矩為

桿L2繞Z1旋轉速度vz1=ω2×rz1=ω2l，其垂直于L2軸線，則計算對Z1產生的合成力矩為

考慮耦合因素影響，桿L2僅繞Z1旋轉，L2所受水動力通過關節傳遞到桿L1，因而對Z0軸產生力矩

其次，當機械臂保持空間某個姿態靜止時，通過Morison 公式計算水流對L2造成的水動力矩。桿L2軸線方向單位矢量e=[ex ev ez]T。ex=cos（θ1+θ2），ev=sin（θ1+θ2），ez=0。水質點的速度為u，u=[ux uv uz]T，將水質點的速度轉換為垂直于L2軸線的速度v，v=[vx vv vz]T=e×（u×e）=[N]u。

受耦合因素影響，L2受水流沖擊力對Z0軸也產生力矩，運用Morison公式計算可得

桿L2沖擊受力對Z1軸的力矩為

綜上所述，兩個關節的力矩為

1.3 水動力學仿真分析

表1和表2分別為水體環境參數與水下機械手參數。由圖4顯示的兩關節浮力仿真結果可知，水體浮力對關節力矩的影響較大，且對桿1關節力矩的影響更加顯著，因而需要考慮補償。由圖5和圖6顯示的兩關節的水動力仿真結果可知，當水體的流速比較小時（u＜1.0 m/s），可以忽略水阻力和附加質量力對關節力矩的影響，僅對浮力項進行逼近；當水體流速較大時（u≥1.0 m/s），不僅要考慮浮力的逼近，還要考慮水阻力和附加質量力的逼近；當水體流速以正弦波變化時，會對關節的控制力矩帶來擾動，影響跟蹤效果，增加控制難度。

圖4 兩個關節的浮力仿真結果Fig.4 Buoyancy simulation results of two joints

圖5 兩個關節的水動力仿真結果Fig.5 Hydrodynamic simulation results of two joints

圖6 兩個關節水動力仿真的局部放大結果Fig.6 Local amplification results of hydrodynamic simulation of two joints

表1 水體環境參數Tab.1 Parameters of water environment

表2 水下機械手參數Tab.2 Parameters of underwater manipulator

2 基于水動力學模型的機械手動力學建模

基于上文中的水動力學模型，采用Lagrange 法即可得到定向流影響下基于水動力學模型的機械手動力學模型為

上述矢量形式可以簡寫為

式中，M(θ)為慣性力矩，C(θ,θ?)為科氏力和離心力矩，G(θ)為考慮浮力的等效重力矩，Ff(θ?)表示關節摩擦力矩，τh為水阻力矩和附加質量力矩，τ為關節控制力矩，其中，

關節摩擦力可表示為關節角速度的函數Ff=c(θ?)。

3 定向流下水下機械手基于RBF神經網絡的逼近控制算法

傳統的反饋控制、PID控制等方法較適合于解決線性、時不變性等相對簡單的控制問題，當面對定向流影響下的水下機械手這一類強耦合、非線性、時變性、不確定性的復雜系統時，由于無法獲得精確的數學模型，且大多需要進行與實際系統不符合的線性化假設[2,16]，使得傳統控制方法無法滿足復雜系統的實際控制需求，本文提出了一種基于RBF神經網絡的自適應魯棒控制方法（圖7）。

圖7 控制算法結構圖Fig.7 Diagram of control algorithm structure

3.1 基于RBF神經網絡的自適應魯棒控制

雙臂水下機械手系統的方程如式（13），考慮系統的參數未知但有界，針對式（13），運用RBF 神經網絡對模型整體進行逼近。

定義誤差為e（t）=θd（t）-θ（t），誤差函數為r=e?+Λe。其中，Λ=ΛT＞0，當r→0時，e→0，e?→0。

式中，

考慮實際情況，模型的不確定項f是未知的，因此，需要對不確定部分f進行逼近。采用RBF 神經網絡逼近上述不確定部分，由被逼近項的表達式（15），將網絡的輸入取為

理想的RBF網絡算法為

RBF神經網絡的輸出為

式中，ν為用于克服神經網絡逼近誤差ε的魯棒項。

將控制律式（18）代入式（14），得

3.2 自適應律及穩定性分析

系統的穩定性是首先要考慮的問題之一，它關系到系統是否能夠正常工作。經典控制理論中已經建立了Routh判據、Huiwite判據、Nquist判據等來判斷線性定常系統的穩定性，但不適用于非線性和時變系統。Lyapunov提出的穩定性理論是確定系統穩定性更一般的方法，不僅適用于單變量、線性定常系統，還適用于多變量、非線性時變系統［15］。基于Lyapunov理論，本文進行如下穩定性分析：

將式（19）代入上式，可得

根據多關節水下機械手的物理特性可知rT（D?-2C）r=0。取W??=-FWφrT，即神經網絡自適應律為

則有

由于當且僅當r=0 時，L?=0，即當L?≡0 時，r≡0。根據LaSalle 不變性原理，閉環系統趨于穩定，即當t→∞時，r→0，系統的收斂速度取決于Kv的選取。又因為L≥0，L?≤0，則當t→∞時，L有界，從而W?有界。

4 仿真實驗

4.1 計算力矩前饋控制法

計算力矩前饋控制方法［5］是一種應用較為普遍的經典控制方法，因此將本文方法與之進行比較，對比方法的數值仿真結果如圖8～9所示。

圖8 兩個關節的位置跟蹤結果Fig.8 Position tracking results of two joints

由機械臂兩個關節的數值仿真結果圖8（a）可以看出，計算力矩前饋控制可以實現基本的軌跡跟蹤且響應時間小于等于0.25 s，可見傳統的計算力矩前饋控制方法具有可靠性和有效性；但進一步觀察圖8（b）與圖9 兩個關節的誤差曲線看出，盡管兩個關節能夠到達期望位置，但缺點是誤差很大，尤其是關節1，其誤差值明顯高于關節2的誤差值。

圖9 兩個關節的角速度和角加速度誤差Fig.9 Angular velocity and angular acceleration errors of two joints

4.2 基于RBF神經網絡的自適應魯棒控制

RBF神經網絡中高斯基函數參數的取值對神經網絡控制起著重要作用，如果參數取值不當，將會導致高斯基函數無法得到有效的映射，使神經網絡失效［11］。因此按照神經網絡具體輸入值的范圍進行取值，該RBF神經網絡的輸入層、隱含層和輸出層的神經元數量依次設為5、5和1，網絡的初始權值矩陣中各個元素的值取為0.1，設置系統的初始狀態為［0.09 0 -0.09 0］，兩個關節的期望關節角指令分別設置為θ1d和θ2d，控制律中其他各參數的具體取值如表3所示。

表3 控制律參數Tab.3 Control law parameters

為充分驗證本文方法在不同水流速度下的控制效果，在數值仿真過程中，分別設定流速相對較小（即u=1.2 m/s）和流速相對較大（即u=3.6 m/s，）的兩組模擬實驗，其中，流速相對較小的數值實驗結果如圖10、12（a）和圖13～14所示，流速相對較大的數值實驗結果如圖11、12（b）和圖15～16所示。

圖10 RBF神經網絡的逼近結果（流速較小）Fig.10 RBF neural network approximation results(low flow rate)

圖11 RBF神經網絡的逼近結果（流速較大）Fig.11 RBF neural network approximation results(high flow rate)

圖10 和圖11 表示利用RBF 網絡在流速不同時對浮力和水動力進行逼近的結果，圖12 表示不同流速下兩個關節的控制輸入情況。由圖13（a）和圖15（a）兩個關節的跟蹤曲線可知，RBF 神經網絡的逼近結果比較滿意，兩個關節都能夠按照預期軌跡運動，在響應時間上相較于計算力矩法略有延長，在流速較小時響應時間為0.378 s，在流速較大時響應時間為0.384 s，但無論流速多大，響應時間的最大漲幅均小于0.15 s；并且，從圖12 可以看出兩關節所需要的控制力矩均在一定范圍內波動，且沒有突變。

圖12 兩個關節的控制輸入Fig.12 Joint control input of two joints

圖13 兩個關節的位置跟蹤結果（流速較小）Fig.13 Tracking results of two joints（low flow rate）

圖15 兩個關節的位置跟蹤結果（流速較大）Fig.15 Tracking results of two joints（high flow rate）

圖13（b）和圖15（b）分別表示在流速不同時的關節角誤差，圖14 和16 則表示流速不同時的角速度和角加速度誤差。在流速較小時，關節角的平均誤差最大不超過1.652×10-3rad，關節角速度的誤差最大不超過1.939×10-4rad/s，關節角加速度的最大誤差不超過4.706×10-5rad/s2；在流速較大時，誤差略大于流速較小的情況，但關節角誤差最大不超過6.981×10-3rad，關節角速度誤差最大不超過2.338×10-4rad/s，關節角加速度誤差最大不超過1.14×10-4rad/s2。

圖14 兩個關節的角速度和角加速度誤差（流速較小）Fig.14 Angular velocity and angular acceleration error of two joints（low flow rate）

圖16 兩個關節的角速度和角加速度誤差（流速較大）Fig.16 Joint angular velocity and acceleration error（high flow rate）

計算力矩法與本文方法的誤差對比結果（表4）顯示，無論水流速度大小，基于RBF 神經網絡逼近的自適應魯棒控制方法都能在兼顧實時性的同時保證控制的精確性，明顯優于傳統的計算力矩前饋控制法，因而具有良好的控制效果。

表4 不同方法的跟蹤誤差比較Tab.4 Comparison of tracking errors of different methods

5 結 語

本文首先利用Morison 公式建立了機械手在定向流影響下的水動力學模型，由此進行了數值仿真。仿真結果顯示：在流速較小（u＜1.0 m/s）時，可以只考慮浮力的逼近；當流速較大（u≥1.0 m/s）時，不僅需要考慮浮力的逼近，還要考慮水阻力和附加質量力的逼近。

基于水動力學模型，本文通過Lagrange 方程得到定向流影響下的機械手動力學模型，進而建立基于RBF神經網絡進行模型整體逼近的自適應魯棒控制方法，把數值仿真結果與計算力矩法相比，在保證響應時間漲幅小于0.15 s 的前提下，使關節角、關節角速度和關節角加速度誤差分別降低了35.78%、26.01%和24.67%，證明該控制方法在控制誤差、穩定性、自適應性等方面均表現出良好的控制性能，研究結果可為定向流影響下水下機械手的水動力學分析以及運動控制提供有價值的參考。