三人抬三角形木板的六種解法

陳朋

【摘要】三人抬一三角形均勻木板是一個有趣的問題，本文給出六種求法供參考，分別運用了力矩平衡法、平行力合成法、功能原理、力矩的矢量定義法.

【關鍵詞】力矩平衡;平行力;功能原理

1 問題呈現

三人抬一三角形均勻木板，每人抬一頂點. 三角板處于水平方向，三人的用力方向均為豎直向上，求三人的用力大小FA、FB、FC.

2 解決方法

解法1 如圖1，以BC為轉軸，FB與FC沒有轉動效果，根據力矩平衡有FA·AD=G·OE，因為O為三角板重心，所以AO∶OF=2∶1.

因為Rt△OEF∽Rt△ADF，

所以OEAD=OFAF=13.

可得FA=13G，

同理FB=Fc=13G.

解法2 如圖2，D為AC中點，連接BD并延長. 從A、C分別作垂線交BD于E、F，易證Rt△AED≌Rt△CFD，所以AE=CF.

以BF為轉軸，因為重心O在BF上，

所以FB、G均不產生轉動效果，根據力矩平衡有：FA·AE=FC·CF，

可得FA=FC，

同理FB=Fc=FA=13G.

解法3 如圖3，FB與FC均豎直向上，可將它們合成為一個合力[1]，此合力也豎直向上，并且作用點在BC之間的某點D，記該合力為FD.

連接AD，因為FA與FD均豎直向上，也可將它們合成，設合力作用點在AD之間的某點E，記該合力為FE.

三角板此時受到的力為重力G和FE，由二力平衡可知，重力G和FE作用點在同一點，也就是重心處，

所以E為重心，D為BC中點，由此可得FB=FC.

同理FA=FB，FA=FC，

所以FB=Fc=FA=13G.

解法4 如圖4，設三角板處在xOy平面. 不失一般性，可以將三角板的兩個頂點A、B放在y軸上，則三個頂點的坐標分別為0，y1，0，0，y2，0，x3，y3，0.

根據平行力合成公式，可得合力F的作用點D的x坐標為

xD=FAx1+FBx2+FCx3FA+FB+FC=FCx3G，

此合力F與重力G二力平衡，作用點相同，所以D為重心，由重心坐標公式可得

xD=13x1+x2+x3=13x3，

因此可得FC=13G，

同理FA=FB=13G.

解法5 不妨設三角板在xOy平面，三個頂點A、B、C的坐標分別（x1，y1，0），（x2，y2，0），（x3，y3，0）.

由重心坐標公式可知重心D的z坐標為 zD=13（z1+z2+z3）=0.

設想三角板在FA作用下緩慢移動一個很小的距離△z，

則FA在此過程中對三角板所做的功為W=FA·△z.

經歷此過程，三角板的重心升高，重力勢能增大了

△E=G·13（△z+0+0）=13G·△z.

根據功能關系應有W=△E，

即FA·△z=13G·△z，

所以FA=13G，

同理FB=Fc=13G.

解法6 如圖5，O是三角板重心，利用力矩定義M=r×F. 分別以A、B、C、O為支點，可以列出

AB×FB+AC×FC+AO×G=0①

BA×FA+BC×FC+BO×G=0②

CA×FA+CB×FB+CO×G=0③

OA×FA+OB×FB+OC×FC=0④

④也可寫成AO×FA+BO×FB+CO×FC=0⑤

由①②③可得AO+BO+CO×G=（AB+AC）×FA+BA+BC×FB+CA+CB×FC=3AO×FA+BO×FB+CO×FC⑥

將⑤代入⑥可得AO+BO+CO×G=0，即AO+BO+CO=0⑦

將⑦代入⑤，AO×FA+BO×FB+（-AO-BO）×FC=0

即AO×FA-FC+BO×FB-FC=0⑧

因為AO與BO不在一條直線上，AO×FA-FC與BO×FB-FC也不在一條直線上，這兩個矢量是獨立的.

所以AO×FA-FC=BO×FB-FC=0.

又因為AO與FA-FC垂直，BO與FB-FC垂直，AO≠0，BO≠0.

所以FA-FC=0，FB-FC=0.

由此可得FA=FB=FC=13G.

參考文獻：

[1] 張大同，趙偉.高中物理精英讀本（上）[M].上海：中西書局，2014：46-47.