例說“主元法”在解題中的應用

趙文寧

【摘要】在解決多元問題或含有參數的問題時，如果以題設或者常用的變元法解答產生困難的時候，可根據題意條件視其他變元為“主元”，或合理使用參數，將參數與變元身份互換，視參數為“變元（主元）”，從而大大降低解題難度，快速解答出答案.用這樣的方法解題時稱之為“主元法”，以下從幾個方面舉例說明“主元法”在解題中的應用.

【關鍵詞】主元法;多元問題;解題難度

1 因式分解

例1 （第21屆“希望杯”全國數學邀請賽初二2試15）將代數式x3+2a+1x2+（a2+2a-1）x+（a2-1）分解因式，得.

解析 x3+2a+1x2+a2+2a-1x+a2-1=x+1a2+2x2+2xa+x3+x2-x-1=x+1a2+2xx+1a+x2x+1-x+1=x+1（a2+2xa+x2-1）=x+1x+a+1x+a-1.

點評 在解答包含有比較多的字母代數題的時候，為了有效解答此類試題，可把試題中的某個字母作為“主元”，把試題中其他的字母當成常數，即可將代數式轉化成有關“主元”的升冪或者降冪的排列后，再應用分組分解法、提取公因式等法，或綜合的方法進行解答.

2 求代數式的值

例2 （第24屆“希望杯”全國數學邀請賽初三1試14）若實數x，y，z使2x+y+z=0和3x+2y+5z=0成立，并且z≠0，則2x2-y2+2z2-4xyx2-5z2+7xz的值是.

解析 這里有三個變元x，y，z，可視z為參數，將兩個方程看作關于x，y的二元一次方程方程組，用z的式子分別表示x，y后，代入所求式求解.

2x+y+z=0①3x+2y+5z=0②，①×2-②

得x=3zy=-7z.

所以2x2-y2+2z2-4xyx2-5z2+7xz

=2×（3z）2--7z2+2z2-4（3z）·（-7z）（3z）2-5z2+7（3z）·z

=18z2-49z2+2z2+84z29z2-5z2+21z2

=55z225z2

=115.

例3 （第4屆“希望杯”全國數學邀請賽初二2試三、2）如果a=122+18-18 2，求a2+ a4+a+1的值.

解析 由a=122+18-18 2，

得a+18 2=122+18，

所以（a+18 2）2=14（ 2+18），

所以a2+ 24a= 24，

所以 22a2+14a-14=0，

所以12- 22a2-14a+1=0

所以 222- 22a2-14a+1=0.

這里，視 22為“主元”，則 22是關于t的方程t2-a2t-14a+1=0的正實根.

因此 22=a2+ a4-4×1×[-14a+1]2

=a2+ a4+a+12，

故有a2+ a4+a+1= 2.

點評 上述解題方法有效應用了常量和變量之間的相互轉化，把 222- 22a2-14a+1=0中的 22看成變量，a看成常量，則得到關于t的一元二次方程t2-a2t-14a+1=0，其中t是變量，a是常量，從而利用求根公式得解.

3 求代數式的最值

例4 （第12屆“希望杯”全國數學邀請賽初二1試19）已知x，y，z為實數，且滿足x+2y-z=6x-y+2z=3，那么x2+y2+z2的最小值是.

解析 對于變元x，y，z，可視z為常數，將兩個方程看作關于x，y的二元一次方程組，用z的式子分別表示x，y后，代入所求式求解.

由x+2y-z=6①x-y+2z=3②，

①+②×2得x=4-zy=1+z.

所以x2+y2+z2=（4-z）2+（1+z）2+z2

=3z2-6z+17

=3z-12+14≥14.

故x2+y2+z2的最小值是14.

4 解方程

例5 方程x2-xy+y2-3x+3y+3=0的實數解為.

解析 方程中有兩個變元x，y，視x為“主元”，將y看成常量，則方程變為關于x的一元二次方程，利用判別式和非負數的性質求解.

由x2-xy+y2-3x+3y+3=0，

得x2+（-y-3）x+（y2+3y+3）=0.

因為x是實數，

所以判別式Δ=-y-32-4（y2+3y+3）≥0，

所以-3y2-6y-3≥0，

所以-3y+12≥0，

所以y+12≤0.

又由非負數的性質，

得y+12≥0，

所以y+12=0，

所以y=-1.

將y=-1代入原方程，

得x2-2x+1=0，

解得x=1.

故方程x2-xy+y2-3x+3y+3=0的實數解為x=1y=-1.

5 求定點

例6 （第22屆“希望杯”全國數學邀請賽初三1試第12題）若對于p的任意值，拋物線y=2x2-px+3p+1都過一個定點，則這個定點的坐標是.

解析 因為定點與“參數”p無關，所以可視p為“主元”，將二次函數的解析式化為關于p的一次方程，由各個“系數”均為0求解.

由y=2x2-px+3p+1，

變形得-x+3p+（2x2+1-y）=0，

令-x+3=02x2+1-y=0，

解得x=3y=19.

故定點的坐標是（3，19）.

點評 求圖象恒過定點的方法：圖象過定點，即與參數無關，可視參數為“主元”，將解析式變形整理為含參數并將參數提取出來和不含參數的兩部分，然后令參數的“系數”和不含參數部分均為0，從而求出定點.