隱圓模型四種形式的探索解析

胡雅玲

【摘要】圓是重要的幾何圖形，其幾何性質(zhì)應(yīng)用廣泛，關(guān)于等角、等線段的特性結(jié)論在綜合性問(wèn)題中有著重要應(yīng)用.而有些題目在呈現(xiàn)時(shí)，并沒(méi)有明確設(shè)定圓，圓是隱性存在的，此時(shí)就需要根據(jù)圓的定義來(lái)提取或構(gòu)建.通常隱圓模型有四種形式，下面結(jié)合問(wèn)題具體探究.

【關(guān)鍵詞】隱圓模型;圓;數(shù)學(xué)解題

隱圓模型1 動(dòng)點(diǎn)定長(zhǎng)

動(dòng)點(diǎn)定長(zhǎng)模型，即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定長(zhǎng)（定值）.該模型是基于圓幾何定義的衍生，即到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合稱之為圓，實(shí)際模型中體現(xiàn)在線段相等上，具體如下.

模型 如圖1所示，有AB=AC=AD，則B，C，D三點(diǎn)均在以A為圓心，AB為半徑的圓上.

策略 實(shí)際解題時(shí)需要證明出定長(zhǎng)，常借用三角形全等或相似特性.

例1 如圖2所示，已知菱形ABCD中，其邊長(zhǎng)為2，∠A=60°，點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AB邊長(zhǎng)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿著MN所在直線翻折可得到ΔA′MN，連接A′C，則A′C長(zhǎng)度的最小值為.

解析 分析翻折過(guò)程，將△AMN沿著MN所在直線翻折得到ΔA′MN，由翻折特性可知始終有MA=MA′=1，與點(diǎn)N的位置無(wú)關(guān).結(jié)合動(dòng)點(diǎn)定長(zhǎng)隱圓模型可知，點(diǎn)A′的軌跡為以點(diǎn)M為圓心，MA長(zhǎng)為半徑的圓弧.

求A′C長(zhǎng)度的最小值，連接CM，結(jié)合共線定理可知與圓的交點(diǎn)就為所求A′的位置，此時(shí)A′C長(zhǎng)度最小，且A′C=MC-MA，其中MA=1，

過(guò)點(diǎn)M作CD的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)H，如圖3所示，∠MDH=60°，則CH=CD+DM·cos60°=52.在Rt△CHM中，利用勾股定理，可得MC=MH2+CH2=7，所以A′C=MC-MA=7-1，即A′C長(zhǎng)度的最小值為7-1.

評(píng)析 上述線段最值問(wèn)題中隱含了動(dòng)點(diǎn)定長(zhǎng)隱圓模型，解析的關(guān)鍵就是確定其中的定長(zhǎng)，該定長(zhǎng)與翻折特性密切相關(guān)，從而可直接確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，后續(xù)結(jié)合三點(diǎn)共線可直接確定最值情形.

隱圓模型2 直角對(duì)直徑

直角對(duì)直徑隱圓模型，即90°角所對(duì)的線段為圓的直徑，該模型同樣是基于圓的特性定理所構(gòu)建.根據(jù)該隱圓模型可知，任意直角三角形的直角頂點(diǎn)均在以斜邊長(zhǎng)為直徑的圓上.實(shí)際上該模型屬于特殊的定弦定角模型.

模型 如圖4所示，AB為固定線段，且總有∠ACB=90°，則點(diǎn)C位于以AB為直徑的圓上.

策略 該直角對(duì)直徑隱圓模型的確認(rèn)核心為直角，故可直接提取圖形中的90°角，包括其中的特殊圖形，如矩形、正方形，特殊關(guān)系：垂直關(guān)系.解析時(shí)從特殊圖形、特殊關(guān)系入手來(lái)提取即可.

例2 如圖5所示，在正方形ABCD中，已知AB=2.動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng);同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)，向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).點(diǎn)E和F的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)兩點(diǎn)到達(dá)各自的終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段AF和BE的交點(diǎn)為P，則線段DP的最小值為.

解析 上述求線段DP的最小值，其中點(diǎn)P為兩運(yùn)動(dòng)線段的交點(diǎn).已知點(diǎn)E和F的運(yùn)動(dòng)速度相等，則始終有AE=DF，分析可證ΔABEΔDAF，由全等特性可得∠DAF=∠ABE.又知∠ABE+∠BEA=90°，可得∠FAD+∠BEA=90°，所以∠APB=90°，即點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終有∠APB=90°.直角對(duì)直徑隱圓模型可知，點(diǎn)P位于以AB為直徑的圓上，其運(yùn)動(dòng)軌跡為一段以AB為直徑的弧，如圖6所示.

設(shè)AB的中點(diǎn)為G，連接CG，與弧的交點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)P，此時(shí)G、P、D三點(diǎn)共線，故DP的長(zhǎng)度最小.在Rt△AGD中，由勾股定理可求得DG=5.

此時(shí)DP=DG-PG，其中PG=AG=1，故DP=5-1，所以線段DP的最小值為5-1.

評(píng)析 上述線段最值問(wèn)題中隱含了直角對(duì)直徑隱圓模型，解析的關(guān)鍵是確定∠APB=90°，該角的確定借用了全等三角形特性，并經(jīng)過(guò)等角代換，相對(duì)較為隱蔽.在直角提取過(guò)程中有以下幾大策略：一是利用特殊圖形及特殊關(guān)系，二是合理進(jìn)行等角代換，三是直接利用特殊模型中的直角或垂直關(guān)系.

隱圓模型3 定弦定角

定弦定角模型，即固定長(zhǎng)度的弦所對(duì)應(yīng)的角為定角（鈍角或銳角），則角的頂點(diǎn)位置并不唯一，且與弦的兩個(gè)端點(diǎn)位于同一圓上.該模型所依據(jù)的是圓周角定理，即同弧或同弦所對(duì)的圓周角相等.

模型 如圖7所示，固定線段AB所對(duì)的∠C的大小固定，由圓的知識(shí)可知點(diǎn)C的位置并不固定，在⊙O的優(yōu)弧ACB上即可以.

策略 該模型確認(rèn)的核心是定弦，以及所對(duì)的定角，兩者為相對(duì)關(guān)系.實(shí)際上動(dòng)點(diǎn)C在優(yōu)弧還是劣弧上，取決于∠C的大小.實(shí)際解析時(shí)需要把握“定”，即線段定長(zhǎng)，角度定值.

例3 如圖8所示△ABC中，BC長(zhǎng)為定值2m，∠BAC=2θ（一般是我們常見(jiàn)的60°、90°、120°等）.

（1）試求△ABC面積的最大值;

（2）試求△ABC周長(zhǎng)的最大值.

解析 上述在△ABC中直接設(shè)定定長(zhǎng)——BC，所對(duì)定角——∠BAC，故點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧.

（1）作△ABC的外接圓，設(shè)為⊙O，則點(diǎn)A可在⊙O上運(yùn)動(dòng)，如圖9所示.△ABC的底邊BC為定值，則當(dāng)點(diǎn)A到底邊的距離最大時(shí)，其面積可取得大值，即當(dāng)點(diǎn)A處于A′位置時(shí)，此時(shí)連接A′O，有A′O⊥BC，設(shè)垂足為點(diǎn)H，分析可知，此時(shí)△ABC為等腰三角形.

A′H=mtanθ，所以△ABC的最大面積為S=12·2m·mtanθ=m2tanθ.

（2）該問(wèn)求△ABC周長(zhǎng)的最大值.可延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，使得AD=AC，再連接CD，則∠D=θ.定邊BC對(duì)應(yīng)定角∠D，可作△BCD的外接圓，設(shè)為⊙O.

在圖10中有AB+AC=AB+AD=BD≤BE=2msinθ（BE為直徑），所以AB+AC的最大值為2msinθ，從而可得△ABC周長(zhǎng)的最大值為2msinθ+2m.

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評(píng)析 上述問(wèn)題解析利用了定弦定角隱圓模型，在第（1）問(wèn)中體現(xiàn)尤為明顯，利用該模型確定了動(dòng)點(diǎn)軌跡，從而直觀的確定了線段最短時(shí)的情形.需要深刻理解模型的特點(diǎn)，即角與弦中存在“動(dòng)”與“定”相對(duì)關(guān)系，可以是角頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，也可以是弦動(dòng).

隱圓模型4 四點(diǎn)共圓

四點(diǎn)共圓隱圓模型，顧名思義四點(diǎn)可確認(rèn)一個(gè)圓，四點(diǎn)均位于圓上.實(shí)際確認(rèn)時(shí)常借助等角關(guān)系，所依據(jù)的是圓周角特性，即同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.

模型如圖11所示的四邊形ABCD中，有∠1=∠2（或∠3=∠4），則A，B，C，D四點(diǎn)共圓（模型中始終有∠5=∠6）.

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策略 可借助等角來(lái)證明四點(diǎn)共圓，往往有兩種策略：一是如右圖中通過(guò)等角代換證明∠1=∠2或∠3=∠4;二是二次證明對(duì)應(yīng)的三角形相似，如圖中的“8字形”三角形相似模型.

例4 如圖12所示，在四邊形ABCD中，已知∠BCD=90°，AC為四邊形的對(duì)角線.過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，設(shè)垂足為點(diǎn)E，與CB延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.如果AC=CF，∠CAD=∠CFD，DF﹣AD=2，AB=6，則ED的長(zhǎng)為.

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解析 本題目在四邊形構(gòu)建了圖形，已知∠CAD=∠CFD，結(jié)合四點(diǎn)共圓模型可知：A，B，C，D四點(diǎn)共圓.連接AF，作四邊形AFCD的外接圓，如圖13所示.利用圓特性可得：∠FAD+∠DCF=180°，∠FAC=∠FDC.

由∠DCF=90°可得∠FAD=90°，再由AC=FC可得∠FAC=∠AFC.等角代換可得∠AFB=∠ABF，所以AF=AB=6，分析可知DF=AD+2.

在Rt△ADF中，由勾股定理可得DF2=AF2+AD2，代入線段長(zhǎng)，可解得AD=8，故DF=10.分析可證△ADE∽△DAF，所以ADDF=DEAD，所以DE=AD2DF=325，即ED的長(zhǎng)為325.

評(píng)析 上述問(wèn)題解析時(shí)利用角度關(guān)系確定了關(guān)鍵的四點(diǎn)共圓，從而提取出關(guān)鍵的角度關(guān)系，為后續(xù)的幾何分析提供了基礎(chǔ).四點(diǎn)共圓模型有一定的難度，要掌握兩大內(nèi)容：一是模型的證明方式，二是模型中的幾何特性，包括等角關(guān)系和相似關(guān)系.

總之，充分掌握隱圓模型的四種形式十分重要，對(duì)于整合圖形、挖掘條件十分有利.從上述探究過(guò)程中可知，四種隱圓模型是在圓的特性原理基礎(chǔ)上構(gòu)建的，故實(shí)踐探究中建議采用數(shù)形結(jié)合的方式，從圓的特性、模型原理、模型結(jié)構(gòu)及性質(zhì)等方面加以解讀，拓寬解題視野，強(qiáng)化模型應(yīng)用.