分離常數(shù)法

李雨

【摘要】 在求解一些較為復雜的分式或“反比例型函數(shù)”等數(shù)學問題時，常運用下面的變形技巧：ax+bcx+d=ac（cx+d）-adc+bcx+d=ac+b-adccx+d（c≠0，d≠0），這一變形技巧我們稱為“分離常數(shù)法”.利用“分離常數(shù)法”可以將分式問題或“反比例型函數(shù)”問題轉化，從而較容易地解決問題.

【關鍵詞】 應用;分離常數(shù);解題

下面舉例說明“分離常數(shù)法”在幾個方面的巧妙應用.

1 探索數(shù)的條件

例1 已知在等式ax+bcx+d=s中，a，b，c，d都是有理數(shù)，x是無理數(shù)，解答：

（1）當a，b，c，d滿足什么條件時，s是有理數(shù);

（2）當a，b，c，d滿足什么條件時，s是無理數(shù).

解 （1）當a=c=0，d≠0時，s=bd是有理數(shù).

當c≠0時，由分離常數(shù)法得s=ax+bcx+d=ac+b-adccx+d，其中ac是有理數(shù)，cx+d是無理數(shù)，b-adc是有理數(shù).

要使s是有理數(shù)，只有b-adc=0，即bc=ad.

綜上可知，當a=c=0且d≠0或c≠0，且bc=ad時，s是有理數(shù).

（2）當c=0，d≠0且a≠0時，s是無理數(shù).

當c≠0時，由分離常數(shù)法得s=ax+bcx+d=ac+b-adccx+d，其中ac是有理數(shù)，cx+d是無理數(shù)，b-adc是有理數(shù).

要使s是無理數(shù)，只有b-adc≠0，

即bc≠ad.

綜上可知，當c=0，a≠0，d≠0或c≠0，bc≠ad時，s是無理數(shù).

注 本題在分離常數(shù)的基礎上，分析、討論s是有理數(shù)或無理數(shù)的條件，非常巧妙、有新意.

2 求解分式方程

例2 解方程：

x+2x+x+6x+4=x+3x+1+x+5x+3.

解 由x+2x+x+6x+4=x+3x+1+x+5x+3，得

x+2x+（x+4）+2x+4=（x+1）+2x+1+（x+3）+2x+3，

所以1+2x+1+2x+4=1+2x+1+1+2x+3，

所以2x+2x+4=2x+1+2x+3.

化簡、移項，得

1x-1x+3=1x+1-1x+4，

所以1x（x+3）=1（x+1）（x+4），

所以x（x+3）=（x+1）（x+4），

即x2+3x=x2+5x+4，

所以2x=-4，

解得x=-2.

經檢驗，可知x=-2是原方程的根.

注 本題首先利用“分離常數(shù)法”將方程的各項分離常數(shù)，然后將分式方程轉化為整式方程求解.對于解分式方程，一定要有“檢驗”的步驟，以免方程產生增根或失根.

3 作“反比例型函數(shù)”的圖象

例3 作出函數(shù)y=3x+1x-1的圖象.

解 將函數(shù)y=3x-1x-1“分離常數(shù)”，得

y=2x-1+3.

由函數(shù)圖象的變換可知，函數(shù)y=3x-1x-1的圖象可以由反比例函數(shù)y=2x的圖象向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到.

圖

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，先作出y=2x的圖象，然后將y=2x的圖象向右平移1個單位，再向上平移3個單位，即可得到y(tǒng)=2x-1+3的圖象.

注 本題先將函數(shù)y=3x-1x-1的解析式“分離常數(shù)”，然后運用了平移變換由反比例函數(shù)y=2x的圖象平移得到函數(shù)y=3x-1x-1的圖象的.對于形如y=ax+bcx+d（c≠0，d≠0）的“反比例型函數(shù)”的圖象，都可以運用這一途徑來得到.

4 研究“反比例型函數(shù)”的性質

例4 分別求函數(shù)y=2 022x-1x+2自變量和函數(shù)值的取值范圍.

解 若函數(shù)y=2 022x-1x+2有意義，則

x+2≠0，

所以x≠-2.

故函數(shù)y=2 022x-1x+2自變量的取值范圍為x≠-2.

將函數(shù)式“分離常數(shù)”，得

y=2 022x-1x+2=2 022（x+2）-4 045x+2

=2 022-4 045x+2.

因為x≠-2，

所以-4 045x+2≠0，

所以y≠2 022.

所以函數(shù)y=2 022x-1x+2函數(shù)值的取值范圍為

y≠2 022.

注 本題在求函數(shù)值的取值范圍時，先將函數(shù)式“分離”，然后分析求解.對于形如y=cx+dax+b（a≠0，b≠0）的函數(shù)求函數(shù)值的取值范圍問題常利用“分離常數(shù)法”.