應(yīng)用參數(shù)法求解競賽題

廉慧

【摘?要】??圓與橢圓的參數(shù)方程是在數(shù)學(xué)競賽具有重要應(yīng)用的內(nèi)容，二者的應(yīng)用價值在于：

①通過參數(shù)簡明地表示曲線上任意一點的坐標;

②將曲線的有關(guān)計算問題轉(zhuǎn)化為三角問題，從而運用三角函數(shù)性質(zhì)及變換公式幫助我們求解諸如最值、參數(shù)取值范圍等問題.這就是求解數(shù)學(xué)競賽試題的“參數(shù)法”.

【關(guān)鍵詞】??參數(shù)法;求解;競賽題

下面舉例說明參數(shù)法在求解數(shù)學(xué)競賽試題中的應(yīng)用.

1?求函數(shù)的值域

例1???f（x）=??4x+7?x+3??+??5x+20?x+3??的定義域是?，值域是?.??（第31屆希望杯高一1試）

解??由??4x+7?x+3?≥0，?5x+20?x+3?≥0，?得

x≤-4或x≥-?7?4?.

故f（x）的定義域是（-∞，-4]∪?-?7?4?，+∞?.

由??4x+7?x+3?=4-?5?x+3?，?5x+20?x+3?=5+?5?x+3?，

所以??4x+7?x+3?+?5x+20?x+3?=9，

即????4x+7?x+3????2+???5x+20?x+3????2=9.

令??4x+7?x+3??=3?cos?θ，??5x+20?x+3??=3?sin?θ，

其中?θ∈?0，?π?2??，且?cos?θ≠?2?3?，

因為若?cos?θ=?2?3?，則?5?x+3?=0，不成立，

所以?y?=??4x+7?x+3??+??5x+20?x+3

=3?cos?θ+3?sin?θ=3?2??sin??θ+?π?4??.

因為?θ∈?0，?π?2??，

所以?θ+?π?4?∈??π?4?，?3π?4??，

于是??sin??θ+?π?4??∈???2??2?，1?，

所以?y∈[3，3?2?]，

故?f（x）的值域是[3，3?2?].

注??本題在求函數(shù)的值域時，分別將?4x+7?x+3?，?5x+20?x+3?分離常數(shù)后得到???4x+7?x+3????2+???5x+20?x+3????2=9，從中挖掘并運用圓的參數(shù)方程，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來求解，十分巧妙.

圓x?2+y?2=r?2?（r>0）?的參數(shù)方程?x=r?cos?θy=r?sin?θ???（θ為參數(shù)，r>0）??中，參數(shù)θ表示旋轉(zhuǎn)角，這是其幾何意義.一般地，圓（x-a）?2+（y-b）?2=r?2??（r>0）??的參數(shù)方程為?x=a+r?cos?θy=b+r?sin?θ??（θ為參數(shù)，r>0）?.

2?求參數(shù)的取值范圍

例2???已知?x?2?4?+?y?2?3?=1上的任意一點P（x，y）可使x+2y+m≥0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（?）

（?A?）（-∞，-4].??（?B?）[-4，+∞）.

（?C?）（-∞，4].?（?D?）[4，+∞）.??（第22屆希望杯高二1試）

解??因為P（x，y）是橢圓?x?2?4?+?y?2?3?=1上的任意一點，所以

設(shè)P（2?cos?θ，?3??sin?θ），

則由x+2y+m≥0恒成立，得

2?cos?θ+2?3??sin?θ+m≥0，

即m≥-（2?cos?θ+2?3??sin?θ）=-4?sin??θ+?π?6??恒成立，

所以?m≥?-4?sin??θ+?π?6??????max??.

因為??-4?sin??θ+?π?6??????max??≥4，

所以?m≥4，故選（?D?）.

注??橢圓?x?2?a?2?+?y?2?b?2?=1?（a>b>0）?的參數(shù)方程為?x=a?cos?θy=b?sin?θ??（θ為參數(shù)）?，橢圓?y?2?a?2?+?x?2?b?2?=1?（a>b>0）?的參數(shù)方程為?x=b?cos?θy=a?sin?θ??（θ為參數(shù)）?.本題將點P的坐標用橢圓的參數(shù)方程表示，代入不等式后分離出參數(shù)m，利用三角代換轉(zhuǎn)化為最值求解的.

3?求最值

例3???在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：?x?2?9?+?y?2?10?=1，F(xiàn)為C的上焦點，A為C的右頂點，P是C上位于第一象限內(nèi)的動點，則四邊形OAPF的面積的最大值為?.??（2017年全國高中聯(lián)賽）

解??易知A（3，0），F(xiàn)（0，1）.

設(shè)P的坐標是（3?cos?θ，?10??sin?θ），θ∈?0，?π?2??，

則?S??OAPF?=S??△OAP?+S??△OFP

=?1?2?×3×?10??sin?θ+?1?2?×1×3?cos?θ

=?3?2?（?10??sin?θ+?cos?θ）

=?3?11??2??sin?（θ+φ），

其中??tan?φ=?1??10??.

所以當(dāng)?tan?θ=?10?時，四邊形OAPF的面積的最大值為?3?11??2?.

注??本題將點P的坐標用橢圓的參數(shù)方程表示，將四邊形分割為兩個三角形后，面積表示為三角函數(shù)形式，利用輔助角法和正弦函數(shù)的有界性求得最值，充分體現(xiàn)了參數(shù)法解題的優(yōu)越性.

例4???如圖1所示，在平面直角坐標系中，橢圓Γ：?x?2?2?+y?2=1的左、右焦點分別為F?1、F?2.????圖1?設(shè)P是第一象限內(nèi)Γ上一點，PF?1、PF?2的延長線分別交Γ于Q?1、Q?2.設(shè)r?1、r?2分別為△PF?1Q?2、△PF?2Q?1的內(nèi)切圓半徑.求r?1-r?2的最大值.??（2021年全國高中聯(lián)賽）

解??易知F?1（-1，0），F(xiàn)?2（1，0）.

設(shè)P（x?0，y?0），Q?1（x?1，y?1），Q?2（x?2，y?2），

由條件知?x?0>0，y?0>0，y?1<0，y?2<0，

由橢圓定義，得

|PF?1|+|PF?2|?=|Q?1F?1|+|Q?1F?2|

=|Q?2F?1|+|Q?2F?2|=2?2?，

所以△PF?1Q?2與△PF?2Q?1的周長均為l=4?2?.

由于S??△PF?1Q?2??=?1?2?（|PF?1|+|F?1Q?2|+|Q?2P|）r?1

=?1?2?lr?1=2?2?r?1，

而?S??△PF?1Q?2?=S??△PF?1F?2?+S??△F?1F?2Q?2

=?1?2?|F?1F?2|y?0+?1?2?|F?1F?2|（-y?2）

=?1?2?|F?1F?2|（y?0-y?2），

所以?2?2?r?1=?1?2?|F?1F?2|（y?0-y?2）.

又?|F?1F?2|=2，

因此?r?1=?y?0-y?2?2?2??，

同理?r?2=?y?0-y?1?2?2??，

所以?r?1-r?2=?y?1-y?2?2?2??.

以下先求y?1-y?2.

因為?P是第一象限內(nèi)Γ上一點，

可設(shè)?P（?2??cos?α，?sin?α），0<α

直線PF?1的方程為y=??sin?α??2??cos?α+1?（x+1），

所以?x=?（?2??cos?α+1）y??sin?α?-1，

代入?x?2?2?+y?2=1整理得

（?2??cos?α+1）?2?2?sin?2?α?+1?y?2-??2??cos?α+1??sin?α?y-?1?2?=0，

兩邊乘以2?sin?2?α，并注意到2?cos?2?α+2?sin?2?α=2，

可知?（3+2?2??cos?α）y?2-

2（?2??cos?α+1）?sin?αy-?sin?2?α=0，

該方程的兩根為y?0=?sin?α，y?1，

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得

y?0y?1=-?y??2??0?3+2?2??cos?α?，

于是?y?1=-?y?0?3+2?2??cos?α?=-??sin?α?3+2?2??cos?α?，

同理?y?2=-??sin?α?3-2?2??cos?α?，

因此?y?1-y?2?=-??sin?α?3+2?2??cos?α?+??sin?α?3-2?2??cos?α

=?4?2??cos?α?sin?α?9-4（?2??cos?α）?2?=?4?2??cos?α?sin?α?9-8?cos??2α?，

于是?r?1-r?2?=?y?1-y?2?2?2??=?2?cos?α?sin?α?9-8?cos??2α

=?2?cos?α?sin?α?9?sin??2α+?cos??2α

≤?2?cos?α?sin?α?2?9?sin?2?α?cos??2α??=?1?3?，

當(dāng)且僅當(dāng)9?sin?2?α=?cos??2α，即?cos?α=?3?10??10?，?sin?α=??10??10?時取等號，相應(yīng)地有x?0=?3?5??5?，y?0=??10??10?，

所以?r?1-r?2的最大值為?1?3?.

注??本題在設(shè)出點的坐標的基礎(chǔ)上，利用橢圓定義得到所研究的兩個三角形的周長后，再利用“分割”三角形和“等面積”法將r?1-r?2表示為兩點Q?1，Q?2縱坐標的關(guān)系式?y?1-y?2?2?2??，把問題轉(zhuǎn)化為研究y?1-y?2的最小值.這時，運用橢圓?x?2?a?2?+?y?2?b?2?=1?（a>b>0）?的參數(shù)方程?x=a?cos?θy=b?sin?θ??（θ為參數(shù)）?.又將點P的坐標設(shè)為角的三角函數(shù)形式，設(shè)出直線PF?1的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，依題意可知y?0，y?1是該方程的兩根，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系用點P的坐標表示出y?1，同理表示出y?2，得到y(tǒng)?1-y?2=?4?2??cos?α?sin?α?9-8?cos??2α?，再進一步利用三角恒等變形和均值不等式最終求得r?1-r?2的最大值.

4?求軌跡

例5???如圖2，在平面直角坐標系xOy中，菱形ABCD的邊長為4，且?|OB|?=|OD|=6.

（1）證明：|OA|·|OC|為定值;

（2）當(dāng)點A在半圓M：?（x-2）?2?+y?2=4?（2≤x≤4）?上運動時，求點C的軌跡.??（2012年全國高中聯(lián)賽一試）

解??（1）定值為20，過程略.

（2）設(shè)C（x，y），A（2+2?cos?θ，2?sin?θ），

其中?θ=∠xMA?（-?π?2?≤θ≤?π?2?）?，

則?∠xOC=?θ?2?.

又?|OA|?2?=（2+2?cos?θ）?2+（2?sin?θ）?2

=8（1+?cos?θ）=16?cos??2?θ?2?，

所以?|OA|=4?cos??θ?2?.

由（1）的結(jié)論|OA|·|OC|=2，得

4?cos??θ?2?·|OC|=20，

所以?|OC|?cos??θ?2?=5，

則?x=|OC|?cos??θ?2?=5，

所以?y=|OC|?sin??θ?2?=5?tan??θ?2?∈[-5，5]，

故點C的軌跡是一條線段，其線段的兩個端點的坐標分別為（5，5）和（5，-5）.

注??本題（2）將點A的坐標用圓的參數(shù)方程表示，運用兩點間的距離公式和三角恒等變換用三角函數(shù)表示出|OA|，然后結(jié)合（1）的結(jié)論求得?|OC|·?cos??θ?2??后，得到x，y的值或范圍，從而確定點C的軌跡，運用參數(shù)法是解題的關(guān)鍵.