巧用特殊角解三角函數應用題

羅強華

【摘要】 在運用三角函數解決問題時，圖形中往往會存在一些特殊的角度，例如30°，45°，60°和90°等.解決此類問題的方法是先根據題目條件和圖形特征計算出一些特殊角的度數，再結合需要解決的問題推導或構造出等腰直角三角形、等邊三角形或含30°和60°的直角三角形等特殊的平面圖形，最后運用特殊角的三角函數值和特殊平面圖形的性質解決問題.

【關鍵詞】 特殊角;三角函數;應用題;解題技巧

例1 如圖1，已知△ABC中，∠ABC=135°，tanA=12，BC=22，求△ABC的周長.

解 如圖1，過點C作CD⊥AB的延長線于點D，

因為∠ABC=135°，

所以∠CBD=180°-∠ABC

=180°-135°

=45°，

可得△BCD是等腰直角三角形，

因為BC=22，

可得BD=CD=BC×sin45°=22×22=2，

在Rt△ACD中，tanA=CDAD，

可得AD=CDtanA=212=4，

由勾股定理，可得

AC=AD2+CD2=42+22=25，

所以△ABC的周長為25+22+2.

例2 如圖2，輪船從B處以每小時50海里的速度沿南偏東30°方向勻速航行，在B處觀測燈塔A位于南偏東75°方向上，輪船航行半小時到達C處，再觀測燈塔A位于北偏東60°方向上，則C處與燈塔A的距離是（? ）海里.

（A）253.??? （B）252.

（C）50.（D）25.

解 由題意可得 ∠DBC=30°，

∠ABD=75°，∠ACE=60°，

所以∠ABC=∠ABD-∠DBC

=75°-30°

=45°，

因為BD∥CE，

可得∠BCE=∠DBC=30°，

所以∠ACB=∠BCE+∠ACE

=30°+60°

=90°，

易證△ABC為等腰直角三角形，

所以AC=BC=50×12=25（海里）.

故答案選（D）.

例3 如圖3，一艘船由A港沿北偏東65°方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏東20°方向，則A，C兩港之間的距離為（? ）km.

（A）30+303.?? （B）30+103.

（C）10+303.（D）30.

解 由題意可得

∠DAB=65°，∠DAC=20°，

∠CBE=40°，

所以∠BAC=∠DAB-∠DAC

=65°-20°

=45°，

因為AD∥BE，

可得∠ABG=∠DAB=65°，

所以∠ABC=180°-∠ABG-∠CBE

=180°-65°-40°

=75°，

所以∠C=180°-∠ABC-∠BAC

=180°-75°-45°

=60°，

如圖3，過點B作BH⊥AC于點H，

易證△ABH為等腰直角三角形，

所以AH=BH=22AB=30km，

在Rt△BCH中，tanC=BHCH，

可得CH=BHtanC=303=103km，

所以AC=AH+CH=（30+103）km.

故答案選（B）.

例4 如圖4，某數學興趣小組為了測量河對岸a的兩棵古樹A，B之間的距離，他們在河邊沿著與AB平行的直線b上取C，D兩點，測得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若a，b之間的距離為50m，則古樹A，B之間的距離為m.

解 如圖4，過點C作CE⊥直線a于點E，

因為∠ACD=45°，

易證△ACE為等腰直角三角形，

所以AE=CE=50m，

因為∠ACB=15°，

所以∠BCE=∠ACE-∠ACB

=45°-15°

=30°，

在Rt△BCE中，有

tan∠BCE=BECE，

可得BE=CE×tan∠BCE=50×33=5033m，

所以AB=AE-BE=50-5033m.

故答案為50-5033.

例5 如圖5，在一個房間內，有一個梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離MA為a米，此時梯子的傾斜角為75°;如果梯子的底端不動，頂端靠在對面墻上，此時梯子的頂端距地面的垂直距離NC為b米，梯子的傾斜角為45°，則這間房子的寬AC為（? ）米.

（A）a+b2.??? （B）a-b2

（C） b.（D） a.

解 由題意可得，

∠ABM=75°，∠CBN=45°，

所以∠MBN=180°-∠ABM-∠CBN

=180°-75°-45°

=60°，

如圖5，連接MN，過點M作MF⊥CN的延長線于點F，

根據題意，易證△MBN是等邊三角形，

所以MB=MN，∠MNB=60°，

根據題意，易證△BCN是等腰直角三角形，

所以∠BNC=45°，

可得∠MNF=180°-∠MNB-∠BNC

=180°-60°-45°

=75°，

所以∠ABM=∠MNF，

因為∠A=∠MFN=90°，

所以△ABM≌△FNM，

可得MF=MA=a，

所以AC=MF=a.

故答案選（D）.