構造和與差，速求陰影部分面積

楊振剛

【摘要】 求陰影部分面積是中考中熱點內容之一，是中考的常見題型，但題目中涉及的圖形往往并不規則，要求它們的面積，并沒有現成的公式可用，這時，往往要借助轉化，化不規則為規則，從而達到解決問題的目的.

【關鍵詞】 陰影部分面積;化不規則;轉化;構造

若所求陰影部分是不規則圖形，需要添加輔助線構造扇形、三角形或特殊四邊形，轉化成規則圖形求其面積的和或差.

1.若陰影部分圖形有一部分是弧線，找出弧線所對應的圓心，將其補全為扇形，再利用圖形間的關系進行求解.

2.若陰影部分是由圖形旋轉構成，旋轉中心即為圓心，連接端點與旋轉中心構造扇形.

如圖1.

例1 如圖2，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作DF⊥AC，垂足為點F，若⊙O的半徑為43，∠CDF=15°，則陰影部分的面積為（? ）

（A）16π-123.? （B）16π-243.

（C）20π-123.（D）20π-243.

分析 連接AD，連接OE，根據圓周角定理得到∠ADB=90°，根據等腰三角形的性質得到

∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，求得∠AOE=120°，過O作OH⊥AE于H，解直角三角形得到OH=23，AH=6，根據扇形和三角形的面積公式即可得到結論.

解 連接AD，連接OE，因為AB是直徑，

所以∠ADB=90°，

所以AD⊥BC，

所以∠ADB=∠ADC=90°，

因為DF⊥AC，

所以∠DFC=∠DFA=90°，

所以∠DAC=∠CDF=15°，

因為AB=AC，

D是BC中點，

所以∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，

因為OA=OE，

所以∠AOE=120°.

過O作OH⊥AE于點H，

因為AO=43，

所以OH=12AO=23，

所以AH=3OH=6，

所以AE=2AH=12，

所以S陰影=S扇形AOE-S△AOE

=120π×（43）2360-12×12×23

=16π-123.

故選（A）.

注 本題主要考查了扇形的面積與三角形的面積公式，圓周角定理等，作出適當的輔助線，數形結合是解答此題的關鍵.

例2 如圖3，正方形ABCD的邊長為2，分別以B，C為圓心，以正方形的邊長為半徑的圓相交于點P，那么圖中陰影部分的面積為.

分析 連接PB，PC，作PF⊥BC于點F，根據等邊三角形的性質得到∠PBC=60°，解直角三角形求出BF，PF，根據扇形面積公式、三角形的面積公式計算，得到答案.

解 連接PB，PC，作PF⊥BC于點F，

因為PB=PC=BC，

所以△PBC為等邊三角形，

所以∠PBC=60°，

∠PBA=30°，

所以BF=12PB=1，

PF=3，

則圖中陰影部分的面積=[扇形ABP的面積-（扇形BPC的面積-△BPC的面積）]×2

=30·π×22360-60·π×22360-12×2×3×2

=23-2π3.

注 本題考查的是扇形面積計算、等邊三角形的判定和性質，掌握扇形面積公式是解題的關鍵.

例3 如圖4，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點（C不與點A，B重合），連接AC，BC，過點C作CD⊥AB，垂足為點D.將△ACD沿AC翻折，點D落在點E處得△ACE，AE交⊙O于點F.

（1）求證：CE是⊙O的切線;

（2）若∠BAC=15°，OA=2，求陰影部分面積.

分析 （1）連接OC，求得∠ACO=∠EAC，根據內錯角相等兩直線平行得到OC∥AE，進而求得∠ECO=90°，即可證明CE是⊙O的切線;

（2）利用S陰影=S梯形OCEF-S扇形OCF可求得陰影部分的面積.

解 （1）如圖5，連接OC，

因為CD⊥AB，圖5

所以∠ADC=90°，

因為△ACD沿AC翻折得到△ACE，

所以∠EAC=∠BAC，

∠E=∠ADC=90°，

因為OA=OC，

所以∠ACO=∠BAC，

所以∠ACO=∠EAC，

所以OC∥AE，

所以∠AEC+∠ECO=180°，

所以∠ECO=90°，

即OC⊥CE，

所以CE是⊙O的切線;

（2）如圖6，連接OF，過點O作OG⊥AE于點G，

因為∠BAC=15°，

所以∠BAE=2∠OAC=30°，

因為OA=2，

所以OG=12OA=1，

AG=3，

因為OA=OF，

所以AF=2AG=23，

因為∠BOC=2∠BAC=30°，

CD⊥AB，

所以CD=12OC=1，OD=3，

所以AE=AD=AO+OD=2+3，

所以EF=AE-AF=2-3，

CE=CD=1，

所以S陰影=S梯形OCEF-S扇形OCF

=（2+2-3）×12-30·π×22360

=2-32-π3.

注 本題主要考查翻折的性質、切線的判定與性質和垂徑定理以及圖形面積之間的轉化，求不規則圖形的面積一般將其轉化為若干個基本規則圖形的組合，分析整體與部分的和差關系.