借助數(shù)學(xué)思想，提升解題效率

龔衛(wèi)娟

【摘要】數(shù)學(xué)知識難度大，抽象性強(qiáng)，學(xué)生在學(xué)習(xí)和理解時遇到較多問題，無形中消磨學(xué)習(xí)興趣.在解題中引入數(shù)學(xué)思想能幫助學(xué)生簡化抽象復(fù)雜問題，形成縝密思維，切實(shí)提升解題效率和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思想;解題效率

1 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，提升解題效率

初中數(shù)學(xué)涵蓋的知識點(diǎn)較多，形成的數(shù)學(xué)問題也各有不同.函數(shù)是初中數(shù)學(xué)重難點(diǎn)知識，也是很多學(xué)生在解題中望而卻步的存在.縱觀以往數(shù)學(xué)函數(shù)解題現(xiàn)狀，多數(shù)學(xué)生在解答時不知該從何著手，多和學(xué)生自身缺乏縝密的解題思路有關(guān)，在解題中未能有效找到突破口.教師在講解函數(shù)問題時可指導(dǎo)學(xué)生巧用數(shù)形結(jié)合思想，即挖掘函數(shù)題目中的圖形與數(shù)量關(guān)系，簡化復(fù)雜抽象的函數(shù)問題，提升解題效率.

例1 以下題目：已知，tanα=12，tanβ=13，求證a+β=45°.

解析 上述題目為典型的正切函數(shù)，數(shù)學(xué)教師可指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，即借助題目中的數(shù)量關(guān)系構(gòu)造滿足條件的角a與β并思考該如何將其中的數(shù)量關(guān)系結(jié)合實(shí)際構(gòu)造圖形，使學(xué)生養(yǎng)成良好數(shù)形結(jié)合思維，進(jìn)一步發(fā)展思維能力.教師可先讓學(xué)生根據(jù)已知條件畫出角a與β（如圖1所示）.

隨即，學(xué)生需求證a+β=45°，故而，教師需引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造上述角a與β，將題目中數(shù)量問題轉(zhuǎn)化至圖形構(gòu)造問題，換言之，將抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)至形象圖形解析，使學(xué)生得出函數(shù)問題答案.

結(jié)果 根據(jù)角a+β，學(xué)生可畫出圖2圖形.在圖2中，學(xué)生連接BC可得出△ABD≌△CBE，即△ABC為等腰三角形，故而a+β=45°.學(xué)生通過直觀圖可迅速解題，提升解題效率.

從上述解題中可得知，數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)常見思想方式，即將抽象復(fù)雜數(shù)學(xué)知識生動化和形象性，簡化學(xué)生理解難度，提升解題效率.數(shù)學(xué)教師可在解題教學(xué)中引領(lǐng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展思維能力，為學(xué)生全面發(fā)展奠定基礎(chǔ).

2 應(yīng)用化歸思想，提升解題效率

在解決數(shù)學(xué)問題時以間接形式分析問題，再運(yùn)用與其關(guān)聯(lián)的知識轉(zhuǎn)化至需解決的問題，將其化歸為已解決問題，得出原問題解決.和一般的變換與轉(zhuǎn)化不同的是，化歸思想常見形式為化繁為簡、化難為易、化未知為已知、化曲為直.

割補(bǔ)法 面積問題是初中數(shù)學(xué)平面圖形解題常見內(nèi)容，經(jīng)常運(yùn)用面積公式解決規(guī)則的幾何圖形，在解決非規(guī)則幾何圖形求面積時可運(yùn)用化歸思想將其轉(zhuǎn)至規(guī)則圖形，其中，割、補(bǔ)、拼、湊是將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)至規(guī)則圖形的主要方式.運(yùn)用割補(bǔ)思想解答面積與體積等問題，則有利于提升學(xué)生解題效率.

例2 以下習(xí)題：已知圖3，四邊形ABCD中，∠A=90°，AB長為3cm，AD長為4cm，CD長為12cm，BC長為13cm，計(jì)算四邊形ABCD面積？

解析 上述圖形為非規(guī)則四邊形，基本沒有可直接求出答案面積公式，所以可運(yùn)用割補(bǔ)法解答，即以添加輔助線形式分割圖形.

解 連BD，因?yàn)椤螦=90°，所以在Rt△ABD中，AB=3cm，AD=4cm，勾股定理BD=5cm.又因?yàn)樵凇鰾DC中，BC=12cm，CD=12cm，BD=5cm，由勾股逆定理可得，所以△BCD為直角三角形.S四ABCD=S△ABD+S△BDC=12×3×4+12×5×12=36cm2.

疊加法 通常為得出適用于各種可能性情況公共的量，需探索分析每種可能性情況并在此基礎(chǔ)上得出規(guī)律，達(dá)到成功解決問題目的.以推導(dǎo)三角形面積公式為例，在解答此類問題時就可運(yùn)用疊加法，提升解題效率.根據(jù)角的大小可將三角形分為直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種類型，每種類型有多種可能，所以，先找到所有三角形類型面積計(jì)算公式才能歸納總結(jié)出三角形面積公式.初中數(shù)學(xué)教師可指導(dǎo)學(xué)生在推導(dǎo)時運(yùn)用已知圖形面積公式.如圖4所示

解析 將長方形看做被其一條對角線截成的兩個直角三角形，以圖4所示，學(xué)生在觀察中可發(fā)現(xiàn)長方形的長與寬分別被截成直角三角形的邊之間關(guān)系，得出長方形的長為直角三角形的一條直角邊，寬為直角三角形另一直角邊，由于兩個直角三角形為全等狀態(tài)，那么長方形面積一半與其中一個直角三角形面積相等，成功提出三角形面積公式：底×高÷2.同理而言，可將正方形視為兩個全等等腰直角三角形，再在此基礎(chǔ)上推導(dǎo).針對平行四邊形可將其看做被其一條對角線截成的兩個全等三角形，以圖5所示.從圖片中可觀察到，平行四邊形的底邊長來自被截取的其中一個三角形的邊長，如果拿該邊作為底，所畫出的高與平行四邊形高恰巧重合，所以，其中一個三角形面積與平行四邊形面積一半相等，推導(dǎo)出公式：三角形面積：底×高÷2.

3 應(yīng)用分類思想，提升解題效率

分類思想是貫穿初中數(shù)學(xué)整個教學(xué)階段的思想方式，由于初中生首次接觸分類思想，不了解其含義、作用和影響，要求數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中先整理分類思想，使學(xué)生初步認(rèn)識分類思想概念性內(nèi)容，再將該思想逐漸滲透于計(jì)算題與證明題中，有利于加深學(xué)生對分類思想理解，為高效應(yīng)用分類思想奠定基礎(chǔ).

例3 在解答線段間的比較問題，具體作法為在同一條直線上呈現(xiàn)兩條線段并讓二者其中的一個端點(diǎn)相重合，之后再去觀察另一端點(diǎn)所在位置.

例題 討論分析比較兩條線段AB與CD大小.

解析 由于上述題目沒有圖形，需要學(xué)生動手畫圖，很多學(xué)生在畫圖中就會發(fā)現(xiàn)并未確定AB與CD的大小，故而需要根據(jù)具體情況展開討論，使A點(diǎn)與C點(diǎn)重合，得出以下三種情況：①當(dāng)點(diǎn)B在線段CD上，那么ABCD.

4 結(jié)語

初中數(shù)學(xué)涉及定理、定義、判定、性質(zhì)等知識，上述知識均需運(yùn)用分類討論，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中需讓學(xué)生了解到可運(yùn)用分類思想解答上述問題并得出準(zhǔn)確結(jié)論，使學(xué)生養(yǎng)成運(yùn)用分類思想解題等良好習(xí)慣，提升解題能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]董明華.數(shù)學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（22）：62-63.

[2]黎松海.數(shù)學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)（初中版），2020（07）：26-27.