借助數學思想，提升解題效率

龔衛娟

【摘要】數學知識難度大，抽象性強，學生在學習和理解時遇到較多問題，無形中消磨學習興趣.在解題中引入數學思想能幫助學生簡化抽象復雜問題，形成縝密思維，切實提升解題效率和數學學習能力.

【關鍵詞】初中數學;數學思想;解題效率

1 應用數形結合，提升解題效率

初中數學涵蓋的知識點較多，形成的數學問題也各有不同.函數是初中數學重難點知識，也是很多學生在解題中望而卻步的存在.縱觀以往數學函數解題現狀，多數學生在解答時不知該從何著手，多和學生自身缺乏縝密的解題思路有關，在解題中未能有效找到突破口.教師在講解函數問題時可指導學生巧用數形結合思想，即挖掘函數題目中的圖形與數量關系，簡化復雜抽象的函數問題，提升解題效率.

例1 以下題目：已知，tanα=12，tanβ=13，求證a+β=45°.

解析 上述題目為典型的正切函數，數學教師可指導學生運用數形結合思想，即借助題目中的數量關系構造滿足條件的角a與β并思考該如何將其中的數量關系結合實際構造圖形，使學生養成良好數形結合思維，進一步發展思維能力.教師可先讓學生根據已知條件畫出角a與β（如圖1所示）.

隨即，學生需求證a+β=45°，故而，教師需引導學生構造上述角a與β，將題目中數量問題轉化至圖形構造問題，換言之，將抽象復雜的數量關系轉至形象圖形解析，使學生得出函數問題答案.

結果 根據角a+β，學生可畫出圖2圖形.在圖2中，學生連接BC可得出△ABD≌△CBE，即△ABC為等腰三角形，故而a+β=45°.學生通過直觀圖可迅速解題，提升解題效率.

從上述解題中可得知，數形結合是高中數學常見思想方式，即將抽象復雜數學知識生動化和形象性，簡化學生理解難度，提升解題效率.數學教師可在解題教學中引領運用數形結合思想，發展思維能力，為學生全面發展奠定基礎.

2 應用化歸思想，提升解題效率

在解決數學問題時以間接形式分析問題，再運用與其關聯的知識轉化至需解決的問題，將其化歸為已解決問題，得出原問題解決.和一般的變換與轉化不同的是，化歸思想常見形式為化繁為簡、化難為易、化未知為已知、化曲為直.

割補法 面積問題是初中數學平面圖形解題常見內容，經常運用面積公式解決規則的幾何圖形，在解決非規則幾何圖形求面積時可運用化歸思想將其轉至規則圖形，其中，割、補、拼、湊是將不規則圖形轉至規則圖形的主要方式.運用割補思想解答面積與體積等問題，則有利于提升學生解題效率.

例2 以下習題：已知圖3，四邊形ABCD中，∠A=90°，AB長為3cm，AD長為4cm，CD長為12cm，BC長為13cm，計算四邊形ABCD面積？

解析 上述圖形為非規則四邊形，基本沒有可直接求出答案面積公式，所以可運用割補法解答，即以添加輔助線形式分割圖形.

解 連BD，因為∠A=90°，所以在Rt△ABD中，AB=3cm，AD=4cm，勾股定理BD=5cm.又因為在△BDC中，BC=12cm，CD=12cm，BD=5cm，由勾股逆定理可得，所以△BCD為直角三角形.S四ABCD=S△ABD+S△BDC=12×3×4+12×5×12=36cm2.

疊加法 通常為得出適用于各種可能性情況公共的量，需探索分析每種可能性情況并在此基礎上得出規律，達到成功解決問題目的.以推導三角形面積公式為例，在解答此類問題時就可運用疊加法，提升解題效率.根據角的大小可將三角形分為直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種類型，每種類型有多種可能，所以，先找到所有三角形類型面積計算公式才能歸納總結出三角形面積公式.初中數學教師可指導學生在推導時運用已知圖形面積公式.如圖4所示

解析 將長方形看做被其一條對角線截成的兩個直角三角形，以圖4所示，學生在觀察中可發現長方形的長與寬分別被截成直角三角形的邊之間關系，得出長方形的長為直角三角形的一條直角邊，寬為直角三角形另一直角邊，由于兩個直角三角形為全等狀態，那么長方形面積一半與其中一個直角三角形面積相等，成功提出三角形面積公式：底×高÷2.同理而言，可將正方形視為兩個全等等腰直角三角形，再在此基礎上推導.針對平行四邊形可將其看做被其一條對角線截成的兩個全等三角形，以圖5所示.從圖片中可觀察到，平行四邊形的底邊長來自被截取的其中一個三角形的邊長，如果拿該邊作為底，所畫出的高與平行四邊形高恰巧重合，所以，其中一個三角形面積與平行四邊形面積一半相等，推導出公式：三角形面積：底×高÷2.

3 應用分類思想，提升解題效率

分類思想是貫穿初中數學整個教學階段的思想方式，由于初中生首次接觸分類思想，不了解其含義、作用和影響，要求數學教師在教學過程中先整理分類思想，使學生初步認識分類思想概念性內容，再將該思想逐漸滲透于計算題與證明題中，有利于加深學生對分類思想理解，為高效應用分類思想奠定基礎.

例3 在解答線段間的比較問題，具體作法為在同一條直線上呈現兩條線段并讓二者其中的一個端點相重合，之后再去觀察另一端點所在位置.

例題 討論分析比較兩條線段AB與CD大小.

解析 由于上述題目沒有圖形，需要學生動手畫圖，很多學生在畫圖中就會發現并未確定AB與CD的大小，故而需要根據具體情況展開討論，使A點與C點重合，得出以下三種情況：①當點B在線段CD上，那么ABCD.

4 結語

初中數學涉及定理、定義、判定、性質等知識，上述知識均需運用分類討論，數學教師在教學過程中需讓學生了解到可運用分類思想解答上述問題并得出準確結論，使學生養成運用分類思想解題等良好習慣，提升解題能力.

參考文獻：

[1]董明華.數學思想在初中數學解題中的應用研究[J].中學數學，2020（22）：62-63.

[2]黎松海.數學思想在初中數學解題中的應用[J].語數外學習（初中版），2020（07）：26-27.