多角度思維提高計算能力

王遠征

【摘要】高考肩負著選擇人才的重任，一道好的試題，既能檢測出考生對數學知識的理解掌握程度，也能很好地考查出考生所具有的數學素養，如數感、符號意識、幾何直觀、數學分析觀念、運算能力、推理能力、創新意識等.

【關鍵詞】數形結合;向量運算;思維品質;數學素養

題目若|a|=|b|=|c|=λ，且滿足a·b=0，a·c=2，b·c=1，則λ=.

此題短小精悍，是一道入口寬、解答方法多種多樣的計算題，能很好地考查學生思維的靈活性、深刻性、創造性，考查出考生的數學素養.

向量是既有大小、又有方向的量，它將“數”與“形”兩者融為一體，是連接“數”與“形”的“橋梁”，是數形結合的典范.

涉及向量運算，其解題途徑有兩種：一是代數計算，即建系轉化為坐標計算;二是幾何方法處理，即因數思形，作出對應的幾何圖形，利用圖形的幾何性質，多轉化為解三角形來求解.

思路1代數方法，構造向量坐標，實施“代數計算”

解法1由a·b=0，得

a⊥b.

又|a|=|b|=|c|=λ，

故可設a=（λ，0），b=（0，λ），c=（x，y），λ≥0，

結合c·a=2，c·b=1，

所以λx=2，λy=1，λ2=x2+y2，

解得λ=45.

解法2依題意a·b=0，|a|=|b|=|c|=λ，

則a⊥b，λ≥0.

設a=（λ，0），b=（0，λ），c=（λcosα，λsinα），

又c·a=2，c·b=1，

所以λ2cosα=2，λ2sinα=1，

解得λ=45.

思路2因數思形，構造幾何圖形求解

解法3設a=（λ，0），b=（0，λ），λ≥0，

c=（x，y）=OC，

由a·b=0，知a⊥b.

圖1

又c·a=2，c·b=1，

所以λx=2，λy=1，

消去λ得y=12x，

則點C在直線y=12x上，且在圓x2+y2=λ2上，在平面直角坐標系中，作出圖象，如圖1所示，

于是4λ2+1λ2=λ2，

解得λ=45.

解法4構造三角形求解

由a·b=0，得a⊥b，

又|a|=|b|=|c|=λ，

可作圖OA=a，OB=b，OC=c，如圖2所示，

OA⊥OB，|OA|=|OB|=|OC|=λ，

由c·a=2，c·b=1，知

OC在OA、OB上的投影分別是2λ，1λ.

在Rt△COD中，由勾股定理得

圖2

4λ2+1λ2=λ2，

解得λ=45.

與其不斷刷題，還不如深入研究透徹一道題，弄清楚該問題的本質，加強數學思維品質的深刻性、廣泛性、創新性和靈活性的訓練，是有效提高我們數學思維品質，提高數學素養，取得好成績的關鍵所在.