尋幽入微，巧比大小

祁君華

【摘要】比較大小的試題多見于試卷中的中檔題或壓軸題，除了常用的“中間值法”與“比較法”，本文再歸納總結幾個實用的、好用的方法.

【關鍵詞】比大小;方法歸納總結

本文歸納總結幾個實用的、好用的方法，助各位莘莘學子攻堅克難，決勝高考.

1特值法

例1若實數a，b，c滿足log2a=log3b=4c，則（）

（A）a

（C）c

分析此類題目，直接求證，一般難度頗大，但若能適當取值，再代入計算，則能化難為易，瞬間突破.

解取a=2，代入得b=3，c=0，

所以c

例2設x，y，z為正數，且2x=3y=5z，則（）

（A）2x<3y<5z.（B）5z<2x<3y.

（C）3y<5z<2x.（D）3y<2x<5z.（2017年全國卷Ⅰ）

解取x=1，則

y=log32，z=log52，

所以2x=2，3y=3log32=log38<2，

5z=5log52=log532>2，

因此3y<2x<5z，選（D）.

2圖象法

例3同例1.

分析要比較三個相等的函數值對應的自變量的大小，只需比較三個函數的圖象與直線y=m（m>0）的三個交點的橫坐標的大小關系即可.此法直觀明了，簡便易行.

圖1

解在同一直角坐標系中作出y=log2x，y=log3x與y=4x的圖象（如圖1）.顯然，直線y=m（m>0）與三個函數圖象的交點的橫坐標從左到右依次為c，a，b，所以c

例4已知a<5，且ae5=5ea，b<4，且be4=4eb，c<3，且ce3=3ec，則（）

（A）c

（C）a

解將已知的三個等式變形為

eaa=e55，ebb=e44，ecc=e33.

設f（x）=exx，

則原條件等價于“f（a）=f（5）且a<5，f（b）=f（4），且b<4，f（c）=f（3），且c<3”.作出f（x）的簡圖（如圖2），由圖易得0

故選（D）.

圖2

3同構法

例5設a=30.5，b=40.4，c=50.3，則（）

（A）a

（C）c

分析乍看之下，三個冪的結構迵然不同（底數不同，指數也不同），不易直接比較.但若細心觀察，認真比較，根據分數指數冪的定義，也能將這三個數的結構統一起來.

解a=3510=1035=10243，

b=4410=10256，c=5310=10125，

顯然c

例6設a=ln43，b=732，c=12ln158，d=0.42.1，則（）

（A）c>a.（B）b>c.（C）a>b.（D）a>d.

解對于（A），

由于c=12ln158=ln158，

則a=ln43=ln169，

因為158>169，

所以c>a.

對于（B），b=732<14，14=12lne，

而c=12ln22564，

因為22564>e，

所以c>b.

同理a>14，

所以a>b.

又因為d=0.42.1<0.42=0.16，

所以a>d.

故選（A）（C）（D）.

4放縮法

例7已知55<84，134<85，設a=log53，b=log85，c=log138，則（）

（A）a

（C）b

分析根據已知條件，易得b<45，c>45，即b

解a-b=log53-log85=log53-1log58

=log53·log58-1log58

所以a

又b

例8已知a=e0.02，b=1.012，c=ln2.02，則（）

（A）b>c.（B）c>a.（C）a>b.（D）a

分析除了“基本不等式”，常用來放縮的不等式還有ex≥x+1與lnx≤x-1.

解顯然a>1，b>1，而c<1.

又lna=0.02，lnb=2ln1.01，

由lnx≤x-1（當且僅當x=1時取等號）可得

ln1.01<0.01，

所以lnb

故選（A）（C）.

5構造法

例9設a=2022ln2020，b=2021ln2021，c=2020ln2022，則（）

（A）a>c>b.（B）c>b>a.

（C）b>a>c.（D）a>b>c.

分析仔細觀察，靈活變形、轉化，可得“a與c的大小關系”等價于“ln20202020與ln20222022的大小關系”.構造函數f（x）=lnxx，利用f（x）的單調性易得f（2020）>f（2022），即a>c.同理可得a與b、b與c的關小關系.（下轉第21頁）