多面體中截面問題的探究

鄭燦基

【摘?要】??多面體的截面問題是立體幾何中常見的問題之一，近些年來(lái)全國(guó)卷高考題或各地的模擬試題對(duì)多面體的截面問題的考查時(shí)有涉及.由于教材對(duì)截面問題的介紹不多，學(xué)生對(duì)截面問題的接觸和訓(xùn)練較少，往往對(duì)這類問題的處理不知所措.本文主要通過創(chuàng)設(shè)問題，說(shuō)明常見的多面體截面的作圖類型的作圖技巧，在此基礎(chǔ)上通過具體實(shí)例詮釋多面體中截面問題常見的命題視角.

【關(guān)鍵詞】??作圖類型;方法技巧;命題視角

1?常見的多面體截面的作圖類型

（1）過定點(diǎn)求作一平面平行于另一平面

例1???已知平面α過正方體ABCD＼|A?1B?1C?1D?1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB?1D?1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB?1A?1=n，求作平面α.

分析??要作出過頂點(diǎn)A的平面α，至少需要過A作兩條相交直線.

因?yàn)?平面α∥平面CB?1D?1，

所以作出的這兩條直線都會(huì)平行于平面CB?1D?1.

如圖1所示，過A作直線AM∥BD，交CD的延長(zhǎng)線為于M，

則?AM∥B?1D?1.

過A作直線AN∥A?1B，交B?1A?1的延長(zhǎng)線為于N，

則?AN∥CD?1.

易證?平面AMN∥平面B?1D?1C，

即?平面AMN為所求的平面α.

總結(jié)??過定點(diǎn)A求作平面α平行于平面β，一般需要過A作兩條相交直線，所作的兩條直線必須平行于平面β.我們常常需挖掘圖形特征，充分利用條件，過A作兩條相交直線分別平行平面β，則可以構(gòu)造出平面α.

（2）過定點(diǎn)作平面垂直于另一平面?（或直線）

例2???已知平面α過正方體ABCD＼|A?1B?1C?1D?1的頂點(diǎn)B，D，且平面α⊥平面BC?1D，平面α∩平面ABB?1A?1=m，求作平面α.

分析??若能在平面α內(nèi)作直線垂直平面BDC?1，

根據(jù)面面垂直的判定定理則有平面α⊥平面BDC?1.

由于?BD⊥AC，

BD⊥AA?1，AC∩AA?1=A，

所以?BD⊥平面CAA?1C?1，BD⊥A?1C.

同理?DC?1⊥A?1C.

而?DC?1∩BD=D，

所以?A?1C⊥平面BDC?1.

因此，只要能在平面α內(nèi)作直線平行A?1C即可實(shí)現(xiàn)平面α⊥平面BDC?1.

在△AA?1C中，分別取BD和AA?1的中點(diǎn)為O和E，連接OE，

則?OE∥A?1C，

不難得到平面BDE即為所求的平面α.

總結(jié)??在幾何體中過定點(diǎn)作平面α垂直于平面β，常常需要充分利用已知條件，尋找直線l垂直于平面β，圍繞給出的定點(diǎn)構(gòu)造直線l′∥l，則由l′和給出的定點(diǎn)往往可確定平面α，進(jìn)而求出平面α與幾何體所截的平面.

（3）作過多面體上已知三點(diǎn)的截面

以上講的是一些特殊要求的截面作圖，實(shí)際上許多截面的作法在于轉(zhuǎn)化成不在一直線上三點(diǎn)作圖作截面.

例3???已知平面α過正方體ABCD＼|A?1B?1C?1D?1的頂點(diǎn)D?1、棱AB的中點(diǎn)E和棱BC的中點(diǎn)F，求作平面α截該正方體所得的截面.

分析??易知平面α即為平面D?1EF.

延長(zhǎng)線段FE和DA交于點(diǎn)M.

因?yàn)?直線M∈直線EF，EF平面α，

所以?M∈平面α.

因?yàn)?M∈直線AD，AD平面ADD?1A?1，

所以?M∈平面ADD?1A?1.

因?yàn)?D?1∈平面α，

在平面ADD?1A?1中，連接MD?1，交AA?1于點(diǎn)P，

所以?點(diǎn)P∈平面α.

連接PE.

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，

則?△AEM為等腰直角三角形，

AM=AE=?1?2?.

因?yàn)?AP∥DD?1，

所以??MA?MD?=?PA?DD?1?，PA=?1?3?.

同理，在CC?1上確定點(diǎn)Q，使CQ=?1?3?.

連接D?1Q，QF，

則平面D?1PEFQ即為平面α截該正方體所得的截面，如圖3所示.

總結(jié)??過不在一條直線上的三點(diǎn)作一個(gè)平面，首先是要找到截面與多面體各面的交線，若已知截面和多面體的某個(gè)面有一個(gè)交點(diǎn)，那么它們必相交于過這個(gè)交點(diǎn)的交線.為了得到這條交線，必須設(shè)法找出另一個(gè)交點(diǎn)，而這個(gè)交點(diǎn)往往在相鄰的兩面的公共棱上，可以求得這條交線，類似地，再確定出截面多邊形的其余各頂點(diǎn).可以看出，作圖的關(guān)鍵在于尋找截面多邊形的頂點(diǎn)，即截面與多面體各棱的交點(diǎn).

（4）過多面體的某些點(diǎn)作與已知平面?（或直線）?成一定傾斜角的截面

例4???平面α過棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD＼|A?1B?1C?1D?1的棱AB，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，且與底面ABCD所成角為45?°?，求作截面α.

分析??連接EF.

由題意知?EF是截面α與底面ABCD的交線.

又?BD⊥EF，BB?1⊥EF，

BB?1∩BD=B，

所以?EF⊥平面BDD?1B?1.

設(shè)BD∩EF=G，則

BG=?1?4?BD=??2??4?<1，

DG=?3?4?BD=?3?2??4?>1.

①在平面BDD?1B?1內(nèi)，過G作∠HGB=45?°?，交BB?1于H.

因?yàn)?EF⊥平面BDD?1B?1，HG平面BDD?1B?1，

所以?HG⊥EF.

根據(jù)二面角的定義，如圖4所示，∠HGB即為截面α與底面ABCD所成二面角的平面角.

連接HE和HF，得

截面α為HEF，形狀為三角形.

②在平面BDD?1B?1內(nèi)，過G作∠DGS=45?°?，交直線DD?1于S.

因?yàn)?DG=?3?2??4?>DD?1，

所以?S在線段DD?1的延長(zhǎng)線上，如圖5所示.

因?yàn)?EF⊥平面BDD?1B?1，

GS平面BDD?1B?1，

所以?GS⊥EF.

根據(jù)二面角的定義，∠DGS就是截面α與底面ABCD所成二面角的平面角.

延長(zhǎng)EF，分別交DA和DC的延長(zhǎng)線于P，Q.連接PS，SQ，PS分別交AA?1和A?1D?1于M，N，SQ分別交D?1C?1和C?1C于K，T，

連接ME，F(xiàn)T，TK，KN，得

截面α為EFTKNM，形狀為六邊形.

總結(jié)??過多面體的已知平面β內(nèi)的點(diǎn)E，F(xiàn)作與平面β成一定傾斜角θ的平面α與多面的截面，首先應(yīng)通過EF尋求與直線EF垂直的平面γ，然后在平面γ中求作與EF成傾斜角θ的直線l，由直線EF和l所確定的平面即為平面α.其次是考慮平面α截多面體所得的截面.如例4中，BG=?1?4?BD=??2??4?<1，DG=?3?4?BD=?3?2??4?>1.在情形①中，BG=??2??4?DD?1，故過G作與BD成45?°?的直線GS與棱DD?1的交點(diǎn)在棱DD?1的延長(zhǎng)線上，需利用上面作過多面體上已知三點(diǎn)的截面的方法技巧求作截面.

2?多面體截面問題常見的命題視角

（1）判斷截面的形狀

例5???如圖6，????圖6?正方體ABCD＼|A?1B?1C?1D?1的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC?1上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是??（寫出所有正確命題的編號(hào)）?.

①當(dāng)0

②當(dāng)CQ=?1?2?時(shí)，S為等腰梯形.

③當(dāng)CQ=?3?4?時(shí)，S與C?1D?1的交點(diǎn)R滿足C?1R=?1?3?.

④當(dāng)?3?4?

⑤當(dāng)CQ=1時(shí)，S為菱形.

解??利用作過多面體上已知三點(diǎn)的截面的方法技巧進(jìn)行解題.

連接AP和PQ，設(shè)PA的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線相交于M，并連接MQ，

易知?DC=CM.

當(dāng)0

截面S為四邊形APQT，如圖7所示.

當(dāng)CQ=?1?2?時(shí)，延長(zhǎng)MQ，與棱DD?1相交的交點(diǎn)恰為D?1，連接AD?1，則截面S為四邊形APQD?1，

易知?PQ∥AD?1，PQ=?1?2?AD?1，AP=DQ，

所以?四邊形APQD?1為等腰梯形.

當(dāng)CQ=?3?4?時(shí)，延長(zhǎng)MQ，與棱D?1C?1相交于R，連接AD?1，D?1Q.

易得??C?1Q?QC?=?C?1R?CM?=?C?1R?CD?=?C?1R?C?1D?1?=?1?3?，

即?C?1R=?1?3?C?1D?1=?1?3?.

當(dāng)?3?4?

當(dāng)CQ=1時(shí)，此時(shí)Q與C?1重合，交DD?1的延長(zhǎng)線于T，連接AT，AT交A?1D?1于E，連接AE，ER.得截面S為四邊形APC?1E，形狀為菱形，如圖9所示.

綜上知，填①②③⑤.

（2）計(jì)算截面的周長(zhǎng)或面積

例6???棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD＼|A?1B?1C?1D?1中，P是BC的中點(diǎn)，過B?1且與平面A?1DP????圖10?平行的正方體截面的周長(zhǎng)為?.

解??如圖10，分別取A?1D?1和DD?1的中點(diǎn)為M，N，連接B?1M，B?1N.取AD的中點(diǎn)為E，連接BE，

易得?MB?1∥EB∥DP，MN∥A?1D，

進(jìn)而有?平面B?1MN∥平面A?1DB.

下面研究平面B?1MN與正方體的截面.

延長(zhǎng)B?1M，交C?1D?1于S，連接SN.

因?yàn)?SD?1∥DC，

N是D?1D的中點(diǎn)，

所以?SN=NC.

即?SN的延長(zhǎng)線與CC?1交于C點(diǎn).

所以?平面B?1MN與正方體的截面為四邊形MNCB?1.

因?yàn)?MN=?2?，CB?1=2?2?，

MB?1=?5?，CM=?5?，

所以截面四邊形MNCB?1的周長(zhǎng)為2?5?+3?2?.

（3）與截面圖形有關(guān)的最值?（涉及長(zhǎng)度和面積）

例7???已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面α所成的角相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（?）

（?A?）?3?3??4?.?（?B?）?2?3??3?.?（?C?）?3?2??4?.?（?D?）??3??2?.

解??因?yàn)檎襟w得12條棱可以分成3組互相平行的棱，所以與12條棱所成角相等，只需與從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所成角相等即可.

如圖11所示，如過D點(diǎn)的棱DA，DC，DD?1與平面α所成的角都相等.容易看出，平面AD?1C與平面A?1BC?1都滿足題意，平面α應(yīng)保持與AD?1C?（或平面A?1BC?1）?平行，且夾在平面AD?1C與平面A?1BC?1之間.

利用正方體的對(duì)稱性，當(dāng)平面α經(jīng)過正方體中心O時(shí)截面面積最大，此時(shí)截面是由棱D?1A?1，A?1A，AB，BC，CC?1，C?1D?1的中點(diǎn)連接而成的正六邊形，其邊長(zhǎng)為??2??2?，面積為

6×??3??4?×???2??2???2=?3?3??4?.

故選（?A?）.

多面體截面的作圖是判斷截面圖形的形狀、正確計(jì)算多面體的截面周長(zhǎng)和面積，求截面圖形的性質(zhì)和最值的前提.通過截面作圖，可以進(jìn)一步理解和鞏固直線和平面位置關(guān)系的概念、定理和公理，更有效地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力.教師在教學(xué)備考中應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立分析，讓學(xué)生觀察動(dòng)手，親自體驗(yàn)，同時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生注重總結(jié)，積累多面體截面的常見類型的作圖經(jīng)驗(yàn)，從而培養(yǎng)良好的作圖能力.