從解答習題到解決問題

劉族剛 葛紅艷

【摘?要】??本文以高中數學人教版教材（新課程）必修第一冊中的一道習題為載體，找出習題背后的問題的實質，并采用多種方法對其進行求解，試圖從“通法”到“通性”，從“特殊”到“一般”，從“解答習題”到“解決問題”.

【關鍵詞】??教材習題;解決問題;多解;拓廣

波利亞說“不能把獲取答案作為解題的單一目標，更不能看成是相應解題活動的終結，一定要形成一種習慣或意識，雖然習題得到了解決，還要繼續向前，必然會有新的發現”.本文從一道教材習題出發，先給出其方法、答案，然后理清其問題本質，并用六種不同方法加以求解，然后繼續向前，試圖從“通法”到“通性”，從“特殊”到“一般”，從“解答習題”到“解決問題”，為學生掌握必備知識，發展關鍵能力提供有益嘗試.

習題再現??比較下列各題中三個值的大小：

（1）?log???0.2?6，?log???0.3?6，?log???0.4?6;

（2）?log??23，?log??34，?log??45.

解??（1）在同一坐標系中，利用函數y=?log???0.2?x，y=?log???0.3?x及y=?log???0.4?x的圖象易得?log???0.2?6>?log???0.3?6>?log???0.4?6，過程略.

（2）?log??23-?log??34=??ln?3??ln?2?-??ln?4??ln?3?=??ln?2?3-?ln?4·?ln?2??ln?2·?ln?3?，

因為??ln?4·?ln?2?

所以???ln?2?3-?ln?4·?ln?2??ln?2·?ln?3?>0，

即??log??23>?log??34，??①

同理??log??34>?log??45，??②

由①②得??log??23>?log??34>?log??45.

注??本題結構簡單，信息量小，但解題方法上有點“非主流”——不走“初等函數單調性”、“中介值”等尋常路，除了基本的“差比較法”外還用到了“基本不等式”和“放縮法”等，不僅方法上出乎學生意料，而且有較強綜合性，是一道實實在在的難題.

整體觀察?log??23，?log??34，?log??45這三個數的結構，不難發現“3=2+1，4=3+1，5=4+1”，即每個對數的真數都比底數大1，透過現象看“同構式”?（結構、形式相同，只有變量不同）?本質，就可以發現“習題”背后的“問題”，實現做一題、會一類、通一片的目的.

拓廣1???當n>1時，比較?log??n（n+1）與?log???（n+1）?（n+2）的大小.

下面用多種方法解決：

解析1?差比較法

因為??ln?n·?ln?（n+2）

所以??log??n（n+1）-?log???（n+1）?（n+2）

=??ln?（n+1）??ln?n?-??ln?（n+2）??ln?（n+1）

=??ln?2?（n+1）-?ln?n·?ln?（n+2）??ln?n·?ln?（n+2）?>0，

故??log??n（n+1）>?log???（n+1）?（n+2）.

注??“差比較法”是比較大小或證明不等式中最基礎、最常見和最重要的方法，本題中，“換底公式”是差比較法的起點與基礎，利用“基本不等式”是確定符號的關鍵.

解析2?商比較法

顯然?log??n（n+1）與?log???（n+1）?（n+2）都是正數，

因為???log???（n+1）?（n+2）??log??n（n+1）

=?log???（n+1）?（n+2）·?log???（n+1）?n

=???log???（n+1）?（n+2）n?2???2

所以??log??n（n+1）>?log???（n+1）?（n+2）.

注??“商比較法”的依據是“若?A?B?>1，B>0，則A>B”，本題求解過程中還利用“基本不等式”以及“放縮法”，有較強的綜合性與技巧性.

解析3?分析法

要比較?log??n（n+1）與?log???（n+1）?（n+2）的大小，

只需要比較?log??n（n+1）-1與?log???（n+1）?（n+2）-1的大小，

即比較?log??n?n+1?n?與?log???（n+1）??n+2?n+1?的大小，

注意到?n+1?n?=1+?1?n?>?n+2?n+1?=1+?1?n+1?，

利用對數函數圖象與單調性易知

log??n?n+1?n?>?log???（n+1）??n+1?n?>?log???（n+1）??n+2?n+1?，

所以??log??n（n+1）>?log???（n+1）?（n+2）.

注??“函數”、“方程”、“不等式”緊密相連，問題解決時，要讓“化歸與轉化”成為習慣，要讓“數形結合”成為本能.

解析4?綜合法

易知a>b>0，m>0時，

b?a?

則a>b>0，m>0時，?a?b?>?a+m?b+m?，

則??log??n（n+1）=??ln?（n+1）??ln?n

>??ln?（n+1）+?ln??n+1?n???ln?n+?ln??n+1?n??=??ln??（n+1）?2?n???ln?（n+1）

>??ln?（n+2）??ln?（n+1）?=?log???（n+1）?（n+2）.

注??教材是基礎知識、基本方法的根，是考試命題的源，是培養學生核心素養的主要載體，關注教材例題習題，熟記“濃度不等式”等“二級結論”，往往能起到“以題解題、借力打力”的作用.

解析5?指對互化

設?log??n（n+1）=x，?log???（n+1）?（n+2）=y，

顯然?x>1，y>1，

則?n?x=n+1，（n+1）?y=n+2，

從而?1+n?x=n+2=（1+n）?y>1+n?y，

則?n?x>n?y，

又因為?n>1，

所以?x>y，

即??log??n（n+1）>?log???（n+1）?（n+2）.

注??指對互化是“化歸轉化”數學思想“化生為熟”的具體體現.

解法6?導數法

對比后發現這兩個式子為“同構式”.

若設f（x）=?log??x（x+1），x∈（1，+∞），

即比較f（n），f（n+1）大小，也就是只需研究f（x）的單調性即可.

由f（x）=?log??x（x+1）=??ln?（x+1）??ln?x?，x∈（1，+∞），

可得f′（x）=???ln?x?x+1?-??ln?（x+1）?x???ln?2?x?，x∈（1，+∞）.

因為?x>1，

所以??1?x?>?1?x+1?>0，?ln?（x+1）>?ln?x>0，

所以???ln?（x+1）?x?>??ln?x?x+1?，

則?f′（x）=???ln?x?x+1?-??ln?（x+1）?x???ln?2?x?<0，

即?f（x）在（1，+∞）上單調遞減，

所以?f（n）>f（n+1），

即??log??n（n+1）>?log???（n+1）?（n+2）.

拓廣2???設a>b>1，t>0，則

log??a（a+t）

注??推證方法為“導數法”，即上面解法6，過程略.

深解習題三百道，不會解題也會解.在“雙減”深得民心和“學科核心素養”培養已成普遍共識的當下，作為教師，只有有效開發和利用教材資源，認真思考例題、習題的編排意圖，深刻領悟習題背后的問題本質，并力求多解多變，才能讓“雙減”政策落地生根，才能真正的從“解答習題”走向“解決問題”.