在拋物線背景下直角三角形存在問題的解題技巧

石平

【摘要】在拋物線背景下，直角三角形存在問題是動點坐標確定的基本方法在特殊背景下的運用.圖形重組和重建能靈活的展現數學題解題方法美感少機械的數學推理和運算比例.通過分析繪圖找到符合條件的點然后再在"互余三角形"或者"三垂直模型"中利用相似或者勾股定理得到相應的分式方程或者一元二次方程去進行模型構建.分類討論思想和待定系數法是基本方法，運用尺規畫圖尋找符合條件的點是解題關鍵.

【關鍵詞】解題技巧;直角三角形;拋物線型問題呈現

類型1 動點在坐標軸或平行于坐標軸的確定直線上，且直線穿過已知定點所連線段.

如圖1，已知拋物線，與x軸交于點A，B兩點，與y軸交于點C.點 P 為拋物線的對稱軸x=上的動點，求使坐標.

類型2 動點在坐標軸或平行于坐標軸的確定直線上，且直線不穿過已知定點所連線段.

如圖1，已知拋物線，與x軸交于點A，B兩點，與y軸交于點C，點 D是點C關于對稱軸的對稱點.點 P為拋物線的對稱軸上的一個動點，求使為直角三角形的點P的坐標.

類型3 動點在拋物線上，且直線不穿過已知定點所連線段.

如圖1，已知拋物線，與x軸交于點A，B兩點，與 y軸交于點C.點 P為拋物線上的一個動點，求使為直角三角形的點P的坐標.

2 解題思路點撥

求交點坐標的基本思路是一樣的，設動點橫坐標，表示出縱坐標，建立方程或方程組求解.在初等數學中表達垂直關系的方式決定了建立的方程或方程組的形式.或者說，對直角三角形的不同詮釋，決定了你列的是哪種方程.

以上三個類型中，前兩個可以用三種思路，但是第三個類型若用一，二思路所列方程非常復雜難解，所以，第三種思路應當作為基本思路和方法教會學生.所以，研究相似三角形的圖形構建就顯得非常的重要.本文將通過類型1的求解，談談第三種方法的構圖方法和解題技巧.

3 構圖技巧例析

這兩個基本圖形是相似三角形模型中的最典型的，圖"K"形圖，圖"三垂直模型"，這兩個圖是來源于同一個基本圖形（圖4）.

我個人看法，干脆叫"互余三角形".這類方法也就可以叫"互余三角形法".構圖思路分兩步完成，以類型1為例.

第一步，用尺規作圖方法找到符合條件的點的可能位置.

分別以過 B，C兩點，作直線 BC的兩條垂線，交對稱軸于 P1，P2.以 BC為直徑畫圓交對稱軸于P3，P4.則符合條件的點有四處.

第二步，運用"互余三角形"構建相似的直角三角形模型.

第三步，利用相似三角形對應邊相等列出分式方程寫出解答過程.

解

分別以過 B，C兩點，作直線 BC的兩條垂線，交對稱軸于 P1，P2.以 BC為直徑畫圓交對稱軸于P3，P4.則符合條件的點有四個.

4 中考真題賞析

例1 二次函數 y=ax2ax+3的圖像過點 A（6，0），且與y軸交于點B，點 M在該拋物線的對稱軸上，若△ABM 是以AB為直角邊的直角三角形，則點 M的坐標

（2020年江蘇省無錫市）

解

參考文獻：

[1]常勝彪.淺析中考試題中拋物線與等腰（等邊）三角形的問題[J].學周刊，20142]李漢兵.拋物線中的三角形問題[J].中國培訓，2016（4）：205-206.

[3]孫浩.走進"特殊"圖形，探究突破策略——以拋物線與特殊三角形問題為例[J].中學數學"初中版，2020（6）：3.