數字陣列通道幅相誤差實時校正方法

凌子涵 孫慧峰

摘要：本文對數字陣列通道幅相誤差的產生及影響進行了分析與討論，并給出了基于Remez算法和粒子群優化算法的復系數FIR校正濾波器設計方法，最后通過仿真驗證了算法的有效性與工程價值。

關鍵詞：數字陣列;幅相誤差;復系數FIR濾波器;粒子群算法

一、引言

數字陣列天線是在傳統相控陣天線的基礎上，引入A/D轉換器、數字T/R組件等數字化器件，并結合數字波束形成技術和數字處理技術而出現的新型陣列天線。與傳統陣列相比，具有大動態范圍、自適應空間干擾抑制、同時多波束形成等優點，在現代雷達中得到了廣泛的應用[1]。

寬帶數字陣列的每一個通道都包含一個數字T/R組件，其中模擬器件的存在必將導致通道內部的幅相特性與理想特性發生偏離，且隨著外部環境因素的變化而變化，導致通道之間的幅相特性產生較大的差異，從而引起通道失配。陣列信號處理的一個前提假設是各通道頻率特性時刻保持一致，當通道間出現失配時，后續數字波束形成效果會受到嚴重影響，出現主瓣展寬、旁瓣升高等，從而導致雷達檢測性能的下降[2-3]。

數字陣列通道誤差的校正主要分為預失真校正和實時濾波校正，預失真校正方法通過在系統中加入頻率特性與失真特性相反的模塊，保證信號線性放大來實現幅相誤差校正，具有簡單靈活、精確度高等優點，但無法對接收信號進行實時校正，且預失真校正只能對相位誤差進行校正而無法對幅度誤差進行校正。實時濾波方法則是通過提取誤差通道的幅相特性，并引入一個對應頻率特性的數字FIR濾波器對誤差進行校正。FIR濾波器結構簡單，易于控制，但實系數FIR濾波器會在整個頻帶上產生較大的群延遲，且幅相特性總是對稱，因此需要設計復系數FIR濾波器對幅相誤差進行校正[4-5]。

本文首先分析了通道幅相誤差模型及其對陣列性能的影響，接著討論了通道幅相誤差的提取方法，之后研究了復系數FIR濾波器設計方法并使用粒子群算法進行優化，最后分析了實際的校正效果。

二、幅相誤差模型及影響分析

要定量得研究通道幅相誤差校正方法，則需要為通道幅相誤差建立一個數學模型，用以描述通道的失配程度，該數學模型應能夠較為準確地反映出通道幅相誤差造成的通道失配情況，并且應較方便于進行仿真分析。目前通道幅相誤差校正方法的研究中，常用的誤差模型以下幾種：系統函數模型、FIR濾波器系數隨機擾動模型、IIR濾波器零極點擾動模型、濾波器級聯模型等。

在表述一個系統的頻率特性時，最簡單且直觀的做法是，就是寫出該系統的頻率響應函數，因此，在描述通道的頻率特性時，最直接的方法就是寫出其頻率響應函數。將傳輸通道視為一個獨立的系統，根據信號與系統的知識，要使通道實現無失真傳輸，則通道頻率響應的幅度特性應為常數，相位特性為關于頻率的一次函數，即

對于一個失真通道，假設其頻率響應函數為：

（1）

其中A（ω）為幅頻響應，B（ω）為相頻響應，其中幅頻特性采用諧波建模，即

（2）

相頻特性采用多項式建模

（3）

上述兩展開式中，求和式中第n項被稱作n次畸變，畸變次數越高，波動就越為劇烈，在通道校正的研究中，為簡化分析通常只保留常數項和一次畸變，而忽略掉更高次畸變。根據成對回波理論，幅度誤差的存在會在主瓣兩側產生符號相同的成對回波，相位誤差的存在會在主瓣兩側產生符號相反的成對回波。

系統函數模型是通過調整通道幅相特性的波動來描述通道特性的，這一模型簡單直觀，能夠直接反映出通道的失配情況，而且便于理論分析與推導，但該模型的缺陷在于忽視了帶外響應，因此與現實情況中的通道有一定的差別。目前在數字陣列校正技術的研究中，大多采用系統函數模型進行仿真與分析。

通過仿真選取帶寬為150MHz，時寬為50μs的線性調頻（LFM）信號，采樣頻率為600MHz，分別對原始信號和經過失真通道的LFM信號進行脈沖壓縮，失真通道特性及部分脈壓結果如下圖所示。

三、復系數FIR濾波器設計方法

FIR濾波器精確的線性相位是以其他性能的犧牲作為代價的，過渡帶較窄的情況下，會在整個頻帶上都產生較大的群延遲，此外，當濾波器的沖擊響應為實系數時，其幅頻特性在一個周期內總是對稱的，而通信均衡等領域則要求幅頻特性非對稱的濾波器，因此，復系數FIR濾波器的設計是十分重要的。

復系數FIR濾波器的設計方法眾多，其優化準則主要分為兩類，分別是最小均方誤差準則和最大誤差最小準則，基于后者設計出來的濾波器往往在相同階數時擁有更優秀的性能，復Remez算法便是基于這樣準則的最優復系數FIR濾波器設計算法[6-8]。該算法是Remez算法在復數域的推廣，便于數值求解、性能優秀。但由于復Remez算法推廣后并不總能得到最優解，且實際情況中幅相特性并不一定連續平滑，所以通常很難得到最優結果。因此可以使用粒子群優化算法，在此優解的基礎上進行優化以逼近最優解。

設通道幅相誤差特性為Hd（ω），校正濾波器的理想頻率響應為H（ω）=1/Hd（ω），則需設計一頻率響應為D（ω）的濾波器去逼近理想頻率響應。首先利用復Remez算法獲得一個次優解，再以此作為粒子群算法的初始值進行進一步的優化得到最優解。

（一）復Remez算法

復Remez算法是Remez算法在復數域內的推廣，通過迭代的方式求解濾波器系數。設理想校正濾波器的頻率響應為H（ω），設計一個頻率響應為D（ω）的N階復系數FIR濾波器對其進行逼近。可以將它們分別寫為如下形式：

（4）

（5）

提取出兩式中的線性相位后，則問題可以等效轉化為以A（ω）近似Hde（ω）的問題。

FIR濾波器的頻率響應公式通常寫作：

（6）

因此Hde（ω）可以寫為如下形式：

為簡化計算，考慮N為奇數的情況，此時

（7）

此時Hde（ω）屬于以

為基的N維線性復值函數空間VN，滿足哈爾條件。

A（ω）和Hde（ω）的誤差可以定義誤差函數E（ω）：

（8）

根據最大誤差最小準則，要使頻率集上誤差函數的最大值達到最小，此時可以使用復交錯點組定理對問題進行求解。

復交錯點組定理是交錯點組定理在復數域上的推廣，其可以表述為，設VN為以連續實函數為基的n維線性復值函數空間，并滿足哈爾條件，Hde （ω）∈VN，如果至少存在N+1個按升序排列的極值點ω0<ω1<…ωN-1<ωN，使誤差函數E（ω）=Hde（ω）-A（ω）滿足

（9）

即誤差函數在其極值點處取得最大誤差，且極大值極小值為正負交替分布時，A（ω）是Hde （ω）關于VN的最佳逼近，其中極值點組[ω0，ω1，…，ωN]稱為交錯點組。

線性空間VN滿足哈爾條件確保了頻帶B上的最優解是唯一的，且此時逼近誤差函數的極值點至少有n+1個。但復交錯點組定理通常只能獲得次優解而非最優解，其原因在于推廣后的復交錯點組定理，其條件是由充要條件退化為了充分不必要條件。

將誤差函數極值點處的誤差稱為交錯誤差，記為δ，則最佳逼近誤差可以寫為如下形式：

（10）

其中W（ωk）為加權函數，將上式變形并展開為矩陣形式則有

（11）

求解上述方程，即可獲得逼近函數Hde （ω）的系數αn、βn以及交錯誤差δ，由此即可計算出當前的逼近函數Hde（ω）和此時的誤差函數E（ω），此時構建輔助誤差函數如下：

（12）

其中m為當前迭代次數，θδ為逼近誤差δ的相位，利用輔助誤差函數R（ω）對交錯點組進行更新。選取當前誤差函數中n+1個最大的極值點構成新的點組，并判斷當前點組與上次迭代時的點組是否發生變換，如果發生了變換則用新的點組繼續進行迭代，直到極值點位置不再變化為止，此時如果誤差函數的范數不大于交錯誤差δ，且極值點呈正負交替分布，獲得逼近問題的最優解，否則為次優解。

（二）粒子群優化算法

在利用復Remez算法獲得逼近問題的次優解后，可以利用智能優化算法對其進行優化以獲得最優解。粒子群優化算法是一種基于群體（這里稱作粒子群）與適應度的群智能優化算法，通過適應度將群體中的個體（這里稱作粒子）移動到好的區域以優化問題。其更新方程寫為：

xi（n+1）=xi（n）+vi（n+1）

vi（n+1）=ωvi（n）+c1r1（pbesti-xi（n））+c2r2（gbest-xi（n））? ? ? ? ? （13）

其中n為迭代次數，c1和c2為加速因子，ω為慣性權重，r1、r2為區間[0，1]內服從均勻分布的隨機數。

FIR濾波器的設計問題即是選取濾波器系數h（n）使得誤差達到最小，這是一個組合優化問題，可以使用粒子群算法對問題進行優化。

將復FIR濾波器的系數作為粒子的位置，由濾波器系數即可求得此時濾波器的頻率響應函數，理想濾波器的頻率響應函數為，則均方誤差可以表示為

（13）

在實際情況中幅相特性通常并不連續平滑，因此以均方誤差作為適應度函數，顯然均方誤差的值越小，對應濾波器的性能就越優秀，算法流程如下。

首先由復Remez算法計算出次優解時的濾波器系數，并以此作為中心在限定范圍R內隨機生成群體數量為N的粒子，初始化算法參數c1、c2和ω，并通過上述兩式對粒子、最優值和適應度進行更新，當算法結束后，適應度最小的粒子所代表的參數就是算法的最優解，即最優FIR濾波器的系數。

四、幅相誤差校正仿真

使用上節所述基于復Remez的粒子群算法設計階數為11階的FIR校正濾波器，通道失真特性與校正濾波器特性的對比及誤差如圖3所示，校正濾波器的幅度響應誤差峰值為0.15dB，相位誤差峰值為0.068rad。

使用設計的FIR校正濾波器對失真信號進行校正，校正后的通道幅相特性如圖4所示，理想信號與校正后信號的脈沖壓縮結果如圖5所示。可以看出即使在濾波器階數較小（11階）時，依然可以得到較為優秀的校正效果，此時對校正后的LFM信號進行脈壓，3dB時寬為4.2810-3μs，峰值旁瓣比為-13.8dB，積分旁瓣比為-9.45dB，理想LFM信號脈壓的理論值，3dB時寬4.2810-3μs，峰值旁瓣比-13.3dB，積分旁瓣比-9.63dB非常接近。FIR濾波器的成本隨著階數的提升而增加，通過本文提出的算法可以在較低的階數下實現較好的校正效果，有利于工程應用與實現。

五、結束語

數字陣列相較于傳統陣列有著不可忽略的優勢，但模擬器件的引入同時也帶來了通道幅相誤差，從而嚴重影響陣列的性能，因此通道幅相誤差校正方法具有重要的研究意義。

傳統的實系數FIR濾波器雖然結果簡單，便于設計，但也有著階數要求高，無法實現非線性相位等缺點，因此需要有效的算法來設計幅度非對稱、相位非線性的復系數FIR濾波器。本文提出的復Remez算法與粒子群算法相結合的復FIR濾波器設計算法，能夠在較低階數下對通道的幅相誤差進行有效校正，具有工程應用與實現價值。

作者單位：凌子涵? ? ? ?中國科學院空天信息創新研究院

中國科學院大學電子電氣與通信工程學院

孫慧峰? ? ?中國科學院空天信息創新研究院

參? 考? 文? 獻

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