初中圓學習中幾種思想方法的運用

王景泉

圓是初中幾何中的重點內容，在整個中學階段數學的學習中，有著舉足輕重的地位和作用，因此，本章也是升學考查的重點。其中圓的有關性質是全章的基礎，是學好本章的關鍵，與圓有關的各種位置關系是全章的主要內容，也是本章思想方法的主要載體，要通過對這些知識的學習、理解和掌握，逐步提高綜合分析能力、運用正確的數學思想和方法解決問題的能力。

一、數形結合思想的運用

數形結合即運用數和形的關系來解決數學問題，一方面可以借助數的精確性來說明形的某些屬性，另一方面也可借助形的直觀性來闡明數之間的某種關系。數形結合的思想是中學內容中，它也是非常重要的研究方法。從點和圓的位置關系開始，到直線和圓的位置關系，都是用數、形結合的方法準確地給予闡明。經常地用數形結合的思想去處理問題，能使數與形的雙向思維得以不斷升華。

二、分類討論思想的運用

當我們研究點與圓、直線與圓、圓與圓位置關系的時候，就要從不同的位置關系去考慮，全面揭示各種可能的情況，這種位置關系的考慮與分析，就是分類討論思想的運用。今后凡是涉及位置關系的知識都要進行必要的討論，所以分類討論思想的應用是圓這一章知識的

最大特點。

例如：已知橫截面直徑為100cm的圓形下水道，如果水面寬AB為80cm，求下水道中水的最大深度。

[分析]水面AB所對的弧可能是劣弧，如圖①當水面AB所對的弧是劣弧時（圓心在水面以上），過圓心O作OE⊥AB，垂足為E，延長OE交⊙O于點F，則BE=AB=40，OB=50，由勾股定理可得OE=30，此時水深EF=20，當水面AB所對的弧是優弧時（圓心在水面以下），同理可求得EF=80，所以水的最大深度為20cm或80cm

因為圓是軸對稱圖形，所以不少與圓有關的線段和角的問題不止一解。注意分類思想在解題中的運用，這是因為近年來全國各地經常出現與本章知識相關的兩解或多解的試題。分類討論問題的關鍵是要弄清引起分類討論的原因，明確分類討論的對象和標準，不同的標準分類的結果也不同，分類必須做到不遺漏、不重復。

三、轉化思想在解題中的運用

轉化是數學解題中的重要策略，一個個數學問題的解決總是靠轉化而完成。不斷地使用所提供轉化的題材，掌握轉化思想，對提高我們的數學綜合能力極其重要。轉化方法一般有化大題為小題，化抽象為具體，化陌生為熟悉，總之目標是化復雜為簡單。在平面幾何

中，由于研究的對象是圖形，所以它們的轉化是依靠圖形變換得到的。因此，轉化的思想是初中階段接觸的最為廣泛的數學思想，如等積問題轉化為相似三角形問題，四邊形問題轉化為三角形問題，弧的問題轉化為弦或角的問題等。

例如：如圖，設P、Q為線段BC上的兩定點，且BP=CQ，A為BC外一動點，當點A運動到使∠BAP=∠CAQ時，△ABC是什么三角形？

[分析]]將A點的位置特殊化就能猜想出結論。

解：作△ABC的外接圓⊙O，延長AP交⊙O于D，連結BD，延長AQ交⊙O于E，連接CE;∵∠BAD=∠CAE，∴BD（⌒）=CE（⌒）?∴BD=CE，∴∠1=∠2又∵BP=CQ，∴BDP≌△CEQ∴∠D=∠E，AB（⌒）=AC（⌒），∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形轉化思想是解決幾何證明的重要思想，輔助線：圓，是達到轉化目的的重要手段之一。

四、方程思想的應用

方程按其定義說就是含未知數的等式。因此，當已知一些量時，可以根據題意，建立這些量之間的等量關系式，即建立方程，然后通過方程的知識求出需求的量，這就是方程思想。數學的研究對象是現實世界的空間形式和數量關系，而方程則是溝通數量關系的橋梁。方程思想在初中數學中有很重要的地位，而“圓”更為方程思想提供了廣闊的馳騁空間。聯系近幾年來的中考命題，圓與方程或方程組結合的命題占有很重的位置。我們一定要在平常學習中，經常地反復地使用方程思想。

通過本章的學習，應逐步掌握認識事物的正確思維方法，正確處理直接與間接，特殊與一般，靜止與運動，局部與整體之間的辯證關系，同時，以上幾種數學思想是近年考查綜合運用知識解決問題的能力的活躍的形式。它的合理運用，也將大大激活綜合題的迎考復習。