緊扣主線 高效復習

鐘明

[摘 要]數列求和是數列的一個重要內容，也是高考的熱點。數列求和方法的復習至關重要。緊扣知識、思想方法和核心素養三大主線復習數列前[n]項求和方法，可使學生系統復習數列前[n]項和的各種求法，進而實現高效復習。

[關鍵詞]知識;思想方法;核心素養;數列前[n]項求和;復習

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）11-0022-03

在新高考中，數列大題出現在第一道解答題的位置，更多的是關注基本方法、基本思想，其中裂項相消法和錯位相減法是求數列前[n]項和的最基本的兩類方法。數列前[n]項求和方法的復習至關重要。那么，如何有效開展數列前[n]項求和方法的復習呢？筆者認為，可緊扣知識、思想方法、核心素養三大主線進行復習。

一、緊扣知識主線進行復習

高中數學復習中，學生有兩個基本任務，一是溫故知新，二是查漏補缺。教師可指導學生從兩個方面進行查漏補缺：一是數學概念、定理法則方面，梳理哪些還沒有記住，哪些沒有理解，哪些無法運用;二是數學思想方法和思維方法方面，厘清哪些還不會用或用得不夠好。在復習數列前[n]項求和方法時，教師應緊扣知識主線引導學生梳理數列求和的常見方法。

（一）公式法

若題目明確所求的數列是等差數列或等比數列就可以直接采用公式法。其中，等差數列的求和公式為[Sn=n（a1+an）2=na1+n（n-1）d2=d2n2+a1-d2n]，等比數列的求和公式為[Sn=a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q≠1）]或[Sn=na1（q=1）]。

（二）分組求和法

當數列的通項是等差數列或等比數列的和（或差）的形式時，形如[cn=an+bn]（其中[an]和[bn]為等差數列或為等比數列），可以分解為基本數列（等差數列或等比數列）進行求和。

[例1]已知等比數列[an]中，若[a1=3]，公比[q>1]，且[3（an+2+an）-10an+1=0（n∈N+）]。

（1）求數列[an]的通項公式;

（2）設數列[bn+13an]是首項為1，公差為2的等差數列，求數列[bn]的通項公式和前[n]項和[Sn]。

解：（1）[an=3n]。（解題過程略）

（2）因為[bn+13an]是首項為1，公差為2的等差數列，則有[bn+13an=1+2（n-1）]，可得[bn=2n-1-13an=2n-1-3n-1]，所以[Sn=1+3+…+（2n-1）-（1+3+32+…+3n-1）=n2-12（3n-1） ]。

評析：對于復合數列，若無法直接利用數列的通項公式求和，則可將其分解為幾個容易求和的基本數列，對復合數列通項中的和（差）重新分組與拆分，再利用公式進行求和。

（三）裂項相消法

裂項相消法主要是把數列的通項拆分為兩項之差后求和，正負相消剩下首尾若干項。應用此法時必須注意哪些項被消除，哪些項被保留，同時需要掌握一些常見的裂項，如[1anan+1=1d1an-1an+1]，[1anan+2=12d1an-1an+2 ]（其中[an]為等差數列）。

[例2][Sn]為數列[an]的前[n]項和，已知[an>0]，[an2+2an=4Sn+3]。

（1）求[an]的通項公式;

（2）設[bn=1anan+1]，求數列[bn]的前[n]項和。

解：（1）[an=2n+1]。

（2）由（1）可知，[bn=1（2n+1）（2n+3）=1212n+1-12n+3 ]，所以數列[bn]的前[n]項和為[Tn=b1+b2+b3+…+bn][=1213-15+15-17+…+12n+1-12n+3=n3（2n+3）]。

評析：根據[an=2n+1]通項特點，得[bn=1（2n+1）（2n+3）]，顯然分母為等差數列相鄰兩項的乘積，符合裂項相消法的應用要求。

（四）錯位相減法

對于由等差數列和等比數列對應項之積組成的數列，形如[cn=an·bn]（其中[an]為等差數列，[bn]為等比數列），常用錯位相減法求和。可在等式兩端同時乘以等比數列的公比（或公比的倒數[1q]）后進行錯位相減，再利用等比數列的求和公式化簡求值。

[例3]設[an]是公比不為1的等比數列，[a1]為[a2]，[a3]的等差中項。

（1）求[an]的公比;

（2）若[a1=1]，求數列[nan]的前[n]項和。

解：（1）[an]的公比為-2。（解題過程略）

（2）設[nan]的前[n]項和為[Sn]。由（1）及題意可得[an=（-2）n-1]，所以[Sn=1+2×（-2）+…+n×（-2）n-1]，[-2Sn=-2+2×（-2）2+…+（n-1）×（-2）n-1+n×（-2）n]，兩式相減得[3Sn=1+（-2）+（-2）2+…+] [（-2）n-1-n×（-2）n=1-（-2）n3-n×（-2）n ]，最后化簡得[Sn=19-（3n+1）（-2）n9]。

評析：錯位相減法適用于由一個等差數列[an]及一個等比數列[bn]對應項之積組成的復合數列。用錯位相減法求解，常會因為步驟煩瑣、計算量大，而導致漏項或添項以及符號出錯等。因此在等式兩邊乘公比后，對應項的冪指數會發生變化，應將相同冪指數的項對齊，這樣有一個式子前面空出一項，另外一個式子后面就會多出一項，兩式相減除第一項和最后一項外，剩下的[n]-1項是一個等比數列。

以知識為主線引導學生溫故知新，可讓學生更清楚各類數列前[n]項求和方法的基本特點和應用要求，同時強化學生對基礎知識和基本技能的掌握。

二、緊扣思想方法主線進行復習

如果說新課的學習重在“把書讀厚”，那么復習課則要“把書讀薄”。把握知識和方法的本質是“把書讀薄”的重要手段。要讓學生搞清楚知識背后所蘊含的思想方法與思維方法，教師應指導、幫助、督促學生加強對思想方法與思維方法的梳理與比較。教師應緊扣思想方法主線引導學生復習數列前[n]項和的求法。

[例4]已知數列[an]滿足[a1=1]，[an+1=3an+1]。

（1）證明[an+12]是等比數列，并求[an]的通項公式;

（2）證明：[1a1+1a2+…+1an<32]。

（1）證明：由[an+1=3an+1]得[an+1+12=3an+12]，所以[an+1+12an+12=3]，則[an+12]是首項為[a1+12=32]，公比為3的等比數列，所以[an+12=32×3n-1]，解得[an=3n-12]。

（2）由（1）知[an=3n-12]，所以[1an=23n-1]，因為當[n≥1]時[，3n-1≥2·3n-1]，所以[13n-1≤12·3n-1]，于是[1a1+1a2+…+1an≤1+13+…+13n-1=321-13n<32]，所以[1a1+1a2+…+1an<32]。

評析：本題考查了數列的概念、遞推公式，等比數列的定義、通項公式，等比數列的前[n]項和公式和放縮法證明不等式，體現了化歸與轉化思想的應用。

[例5]已知數列[an=n2·2n]，求數列前[n]項和[Sn]。

分析：深層理解數列前[n]項和[Sn]的定義，用構造法求數列前[n]項和。由[Sn=12×21+22×22+…+（n-1）2×2n-1+n2×2n]，[Sn-1=12×21+22×22+…+（n-1）2×2n-1]，當[n>1]時，[Sn-Sn-1=n2·2n]，所以[Sn2n-12×Sn-12n-1=n2 （n≥2）]。利用待定系數法求出數列[Sn2n]通項，再求[Sn]。

解：∵[Sn=12×21+22×22+…+（n-1）2×2n-1+n2×2n]，

[Sn-1=12×21+22×22+…+（n-1）2×2n-1]，

∴當[n>1]時，[Sn-Sn-1=n2·2n]，

由[Sn2n-12×Sn-12n-1=n2（n≥2）]，利用待定系數法，

設[Sn2n+pn2+qn+r=12Sn-12n-1+p（n-1）2+q（n-1）+r? ]，

[?Sn2n=12×Sn-12n-1-12pn2-q+2p2n+p-q-r2 ]，

所以[-p2=1]，[-q+2p2=0]，[p-q-r2=0]，所以[p=-2]，[q=4]，[r=-6]，

[∴Sn2n-2n2+4n-6=12Sn-12n-1-2（n-1）2+4（n-1）-6]

[?Sn2n-2n2+4n-6=S12-2+4-6×12n-1=-32n-1]，故[Sn=（n2-2n+3）·2n+1-6]。

評析：讓學生在原來的認知和知識框架下深化學習，把握數學知識中所蘊含的通性通法和數學思想。教師應通過審題示范、解題分析示范、解題反思示范，促進學生數學思維的發展，提升數學復習效果。

三、緊扣核心素養主線進行復習

在復習一些重要的知識與方法時，教師要盡量讓學生多參與、多體會、多感悟，不斷培養學生思維的深刻性，發展學生直觀想象、邏輯推理、數學運算等學科核心素養。教師應緊扣核心素養這一主線引導學生復習數列前[n]項和的求法。

[例6]設等差數列[an]的公差為[d]，點[（an ， bn）]在函數[f（x）=2x]的圖像上[（n∈N*）]。

（1）若[a1=-2]，點[（a8 ， 4b7）]在函數[f（x）]的圖像上，求數列[an]的前[n]項和[Sn];

（2）若[a1=1]，函數[f（x）]的圖像在點[（a2 ， b2）]處的切線在[x]軸上的截距為[2-1ln2]，求數列[anbn]的前[n]項和[Tn]。

解：（1）由已知得[b7=2a7， b8=2a8=4b7]，所以[2a8=4×2a7=2a7+2]，則有[a8=a7+2]，解得[d=a8-a7=2]，又因為[a1=-2]，所以由等差數列前[n]項和的公式得[Sn=na1+n（n-1）2d=n2-3n];

（2）函數[f（x）=2x]在點[（a2 ， b2）]處的切線方程為[y-2a2=（2a2ln2）（x-a2）]，其在[x]軸上的截距為[a2-1ln2]，且由[a2-1ln2=2-1ln2]，得[a2=2]，所以[d=a2-a1=1]，從而得[an=n ， bn=2n]，故數列[anbn]的通項公式為[anbn=n2n]，由錯位相減法得[Tn=12+222+323+…+n-12n-1+n2n]，[12Tn=122+223+324+…+n-12n+n2n+1]，兩式相減得[12Tn=12+122+123+…+12n-n2n+1]，最后化簡得[Tn=2n+1-n-22n]。

另也可用構造法求解。當[n≥2]時，由[Tn-Tn-1=n·12n]，得[Tn12n-2Tn-112n-1=n]，令[bn=Tn12n]得[bn-2bn-1=n]，

設[bn+An+B=2（bn-1+A（n-1）+B）]，則[A=1 ， B=2]，

所以[bn+n+2=（b1+2+2）?2n-1]，得[bn=2n+1-n-2（n≥2）]，

所以[bn=Tn12n=2n+1-n-2]，當[n=1]時，[T1=12]也符合關系式，所以[Tn=2n+1-n-22n]。

評析：本題的第（1）問以函數為載體，以“點在函數圖像上”為切入點得到數列的遞推關系式，考查等差數列前[n]項和的知識。第（2）問以導數為工具，以曲線的切線方程為切入點，以“直線在[x]軸上的截距為[2-1ln2]”為線索，利用方程思想求公差[d]，又以[anbn]的通項公式識別“數學模型”，最終用錯位相減法（或構造法）解決問題。本題有效考查了學生的直觀想象、邏輯推理和數學建模等數學學科核心素養。

綜上可知，在高中數學復習教學中，教師應緊扣知識、思想方法和核心素養三大主線引導學生進行復習，使學生把握數學本質和掌握數學知識、方法，進而發展學生的高階思維，培養學生的數學學科核心素養。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

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[2]? 陳豪，陳弈龍.基于2020年高考全國1卷第17題一類問題的研究[J].中學數學研究（華南師范大學版），2021（1）：16-18.

[3]? 呂曾鋒.數學單元教學設計的四大視角：以“數列”為例[J].中學教研（數學），2021（1）：13-15.

（責任編輯 黃春香）