數學眼光的理論審視與培養建議

胡晉賓 劉洪璐

摘要：數學“三會”是指數學眼光、數學思維、數學語言，它們分別對應數學整個活動的從現實世界提升到數學世界、在數學世界內部推進、從數學世界回饋到現實世界三個發展樣態，與數學核心素養（關鍵能力）、“四基”、“四能”都有對應關系。數學眼光就是在思維過程中，找到數學的元素，發現數學的主題，提出數學的概念，捕捉數學的關系，欣賞數學的美感，彰顯數學的觀念。數學眼光的教育意義在于，重視核心素養理念，強調應用和創新意識，瞄準數學直覺本領。培養數學眼光應該重視應用舉例，關切發散聯想，倡導數學閱讀。

關鍵詞：數學眼光;數學核心素養;數學“三會”

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“2017年版課標”）在“課程性質”中提出，要“引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界”②?！读x務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）進一步發展了相關思想，明確提出“三會”主張，即“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”③;并把它們作為培養學生數學核心素養的重要指導思想，寫進課程目標。作為一個較為新穎的學術名詞，對一線教師來說，怎樣理解數學眼光的

②中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020：2。

③中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：5-6。

內涵，怎樣把握數學眼光的發生機制，如何認識數學眼光的教育意義，如何落實數學眼光的培養，是重要的課題。

一、數學眼光的理論審視

（一）數學眼光的內涵解讀

2022年版課標雖然沒有明確給出數學眼光的定義，但是描述了數學眼光的作用：“數學為人們提供了一種認識與探究現實世界的觀察方式。通過數學的眼光，可以從現實世界的客觀現象中發現數量關系與空間形式，提出有意義的數學問題;能夠抽象出數學的研究對象及其屬性，形成概念、關系與結構;能夠理解自然現象背后的數學原理，感悟數學的審美價值;形成對數學的好奇心與想象力，主動參與數學探究活動，發展創新意識。”①

既然叫作“數學眼光”，多少和看見、觀察等有關系?；?022年版課標的闡述，數學眼光、數學觀察實際上是同義的。為了方便理解，我們給出數學眼光的操作定義：“數學眼光主要指在現實與數學之間進行的思維切換，也即：立足知識儲備，關涉活動經驗，借助數學抽象和直觀想象，從現實案例‘看到數學內涵，從數學內涵‘想到現實案例?！雹跀祵W眼光是雙向的，即不僅有看到現實案例想到數學內涵的一個側面，而且有看到數學內涵想到現實案例的一個側面。

圖1給出了“三會”與數學的基本思想（抽象、推理、模型）、特征（高度抽象、邏輯嚴謹、應用廣泛）的大致對應關系。廣義說來，數學是思維的科學。如果把思維當作動詞，那么思維和思考等價，數學思維就是大腦內部的數學思考。從根本上說，無論是數學眼光（數學觀察）、數學思維（數學思考）還是數學語言（數學表達），背后的內核都是“數學地思考”。只不過，如果把數學的整個活動分為從現實世界提升到數學世界、在數學世界內部推進、從數學世界回饋到現實世界這樣三個發展樣態的話，那么數學眼光對準的是第一個階段，即從現實世界到數學世界這一跨越，不涉及后面的數學思維和數學語言分別對應的兩個階段。③

余秋雨先生指出：“文化，是一種成為習慣的精神價值和生活方式。它的最終成果，是集體人格?！雹軐嶋H上，數學學習也是一個文化繼承和學科熏陶的過程，就是形成數學觀察、數學思考和數學表達的過程。因此，數學“三會”不同于語言課程的聽說讀寫，迥異于科學課程的實驗探索，有別于藝術課程的情感演繹。極而言之，數學“三會”就是帶有數學氣質、具有數學味道、體現數學特點的觀察、思考和表達。數學眼光就是在思維過程中，找到數學的元素，發現數學的主題，提出數學的概念，捕捉數學的關系，欣賞數學的美感，彰顯數學的觀念。

（二）數學眼光與數學家眼光的異同

張景中院士這樣描述數學家的眼光：“數學家看問題，關心的是數量關系和空間形式，用的是抽象的眼光。有些我們覺得不

①中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：5。

②③胡晉賓，劉洪璐.數學眼光的內涵及培養[J].中學數學月刊，2021（2）：17-20。

④參見：余秋雨.中國文化課[M].北京：中國青年出版社，2019。

同的東西，數學家看來卻是相同的。3只小雞、3只熊貓、3條恐龍，它們之間的差別可以使生物學家激動不已。但是對于數學家來說，無非都是干巴巴的數字‘3而已。月餅、燒餅、鐵餅，到了數學家那里，無非都是圓?！雹儆纱丝梢姡瑪祵W家的眼光和前述數學眼光的概念本質上并無二致。數學知識是數學家群體創造出來的，學生學習數學，就是通過知識學習，培養出類似數學家的思維方式和思維本領。因此，我們認為，學生要培養的數學眼光與數學家審視問題時的眼光，在方向上是一致的，只不過學生的數學眼光形成是需要慢慢培養的，學習過程是漫長的，有高低深淺之分、進階路徑差異，不同的人在數與代數、圖形與幾何或統計與概率領域還有不同。

（三）數學眼光的素養對應與水平劃分

數學“三會”既是數學核心素養的終極性凝聚，也是數學核心素養的積淀后外化。具體地，根據2022年版課標和2017年版課標，數學“三會”與各個學段的數學核心素養具體表現的對應關系如表1所示。

數學是研究數量關系和空間形式的科學，考慮到義務教育數學常見的領域劃分，數學眼光可以分為數與代數、圖形與幾何、統計與概率的領域差異，分別對應考察數量與數量關系、圖形與圖形關系、統計與統計關系。因為數學眼光是用來“觀察現實世界”的，所以從現實世界的角度，可以劃分為熟悉的情境、關聯的情境和綜合的情境三種水平層級。

（四）數學眼光的發生機制

數學“三會”不僅和“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗）有關，還與“四能”（發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力）有關。如果把外部顯性操作和內部思維操作都當作基本活動經驗的話，那么它們的大致對應關系可以如表2所示。

數學眼光是在長期數學學習過程中練就的，需要數學基礎知識和基本活動經驗積淀的加持。從數學的視角發現問題和提出問題時，數學眼光就發生了。2022年版課標也在“教學建議”中指出：“要引導學生在發現問

①張景中.數學家的眼光（典藏版）[M].北京：中國少年兒童出版社，2011：42-43。

題、提出問題的同時，會用數學的眼光觀察現實世界……”①

以看到蘭州拉面場景想到冪指數知識為例，說明數學眼光的發生?？吹嚼娴母鶖翟诜?，這是一個數量關系模式識別的過程，于是大腦激活并提取出冪指數知識。因此，其中主要涉及既有的基礎知識和基本活動經驗。

（五）數學眼光的教育意義

1.重視核心素養理念

數學學習追求的不應該僅僅是冰冷的知識和量化的成績，實際上，對于大多數人來說主要是一種“忘卻”后留下的素養。提出“三會”理論并倡導數學眼光培養，可以改變數學高高在上、高不可攀的形象，因為在日常生活中就有“觀察出來”的“活的數學”。

2.強調應用和創新意識

提出數學眼光的培養目標，意在側重聯系實際，強調學以致用和創新實踐，反對死讀書和“刷題”應試。比如，2022年版課標中有一個案例：如圖2所示，左邊為1個紙杯，右邊為6個疊放在一起的紙杯，要求探究疊放杯子總高度的變化規律。②要從中直接“看出”函數來，確實需要數學眼光。設杯子底部到杯沿底邊高為h（常量），杯沿高為x（常量），杯子個數為n（自變量），因此從初中數學的角度看，總高度H=h+nx是一次函數;從高中數學的角度看，顯然可以把它看作一個等差數列（數列是一類特殊的函數）。

3.瞄準數學直覺本領

一般認為，數學思維包括數學的邏輯思維、形象思維和直覺思維三種形式。其中，形象思維、直覺思維與數學眼光關系最大。從根本上說，邏輯思維不能帶來新穎創造和重大變革，僅僅是核準直覺思維的“衛生規則”;而直覺思維與合情推理，則是最富創意的思維形式與數學活動。數學眼光實際上是人們受過專業訓練后形成的一種學科思維習慣和專業直覺。強調數學眼光，實際上就是強調這種直覺。仔細揣摩以下名言，不難體會直覺的重要性：

“邏輯和直覺各有其必要的作用，兩者缺一不可。唯有邏輯能給我們以可靠性，它是證明的工具;而直覺，則是發明的工具?！保嫾尤R）

“總應要求一個數學主題變成直觀上顯然，才可以認為研究到頭了……”（F.克萊因）

“對于基本概念的理解，要變為直覺。”（楊振寧）

“猜測是一手貨，需優先掌握;證明是二手貨，可慢慢修煉?！保秩海?/p>

二、數學眼光的培養建議

前面已經述及數學眼光和“四基”“四能”的關系，數學眼光的培養顯然和數學知識的不斷累積有關，和數學思維的反復實踐有關。除此之外，在日常學習和教學中，還應注意以下幾點：

（一）重視應用舉例

對于學生學習來說，一個經典的有趣案例，勝過一打花哨的蹩腳理論。③鄭毓信先生在提到數學教師的基本功時，把善于舉例作為第一項（其他兩項分別是善于提問、善于比

①②中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：84，178。

③張五常.吾意獨憐才——五常談教育[M].北京：中信出版社，2010：50-54。

較與優化）。數學教師應該善于通過精彩案例的列舉，進行數學眼光的培養;應該善于借助教學世界的創設，架設生活世界和數學世界之間的橋梁。①教學時，不僅要讓學生知道某個現實案例可以抽象成什么知識，而且要能反過來，給出相應知識，讓學生列舉出生活實例。

以初中三角形的穩定性為例，就有自行車撐子停車、空調外機安裝固定、攝影器材三腳架支撐、太陽能熱水器結構性焊接等案例。以高中周期性概念為例，就有歷法計時、晝夜交換、四季更替、心跳反復、星期輪回、潮汐漲落、圓周往復、“離離原上草，一歲一枯榮”等案例。從這個角度來看，文理交融和學科交叉是應該提倡的。比如，從音樂、美術和體育等學科中看到數學的內涵，顯然也是重要的數學眼光。

（二）關切發散聯想

傳統的數學教育強調演繹推理和數學運算，合情推理與數學直覺被認為是非主流的——再加上數學抽象與數學建模的被忽視，就存在“掐頭去尾燒中斷”的問題。實際上，后者是數學學習中不可或缺的一個側面，應該得到同等重視。數學教學中，應該多引導學生發散聯想，促使學生形成直覺，兼顧非邏輯思維發散的一面，改變數學刻板收斂的形象。

比如，林群院士就曾用吃薄餅等價于吃油條的例子，形象生動地揭示微積分基本原理的內涵：吃一定數量的薄餅（積分，求和）相當于吃若干根油條（微分，作差），而被積函數積分求面積的問題相當于原函數微分三角形中的求高。看似與數學風馬牛不相及的吃早點問題，被輕松風趣地解讀成了數學命題背后的深刻原理。

又如，我們在編寫有關教材時，從以下生活中的多個案例抽象出變換及其對應的矩陣：（1）紋絲不動?恒等變換（矩陣）;（2）彈簧拉伸?伸壓變換（矩陣）;（3）風車旋轉?旋轉變換（矩陣）;（4）樹木投影?投影變換（矩陣）;（5）圖像對稱?反射變換（矩陣）;（6）紙牌推移?切變變換（矩陣）。②顯然，這也是數學眼光發散聯想的具體體現。

（三）倡導數學閱讀

數學眼光的培養，除了通過教材、通過教師教學之外，還特別需要注意引導學生加強數學課外閱讀，以便擴大數學視野。數學教材好比正餐，當然需要重視，但是課外的數學科普閱讀、數學講座參與乃至數學新媒體學習等也是重要的學習路徑。“汝果欲學詩，工夫在詩外?！眱H靠數學教材學習或者數學解題，會窄化數學素養的形成，尤其是阻礙“三會”的培養。很多數學歷史、文化、科普方面的閱讀活動非常靈動活潑，能夠激發學生的數學學習興趣，逐漸幫助學生養成數學眼光。

（胡晉賓，江蘇第二師范學院數學系，編審，博士。主要從事數學課程與教學論的教學及研究等。劉洪璐，南京師范大學附屬中學。南京市優秀青年教師，曾獲第五屆全國青年數學教師優秀課展示活動一等獎。主要從事高中數學教學設計與研究等。）

①羅增儒.數學教育視角下的三個世界和四種數學形態[J].中學數學教學參考，2019（14）：1。

②胡晉賓，劉洪璐，陳永高，等.普通高中課程標準實驗教科書·數學（選修4-2）：矩陣與變換[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2008：12-35。