例說全概率公式理解與應用的三個層次

金毅

摘要：本文從概念層次、應用層次、拓展層次上對全概率公式進行解讀.全概率公式是條件概率概念的延伸，應用的關鍵是對樣本空間做好劃分，它還可以描述動態的概率過程.同時，列舉3道例題對公式的理解和應用做具體說明. 逐漸建立全概率公式從概念到應用的思路過程，拓寬全概率公式的應用視野，并詳細說明應用過程中的細節問題.

關鍵詞：全概率公式;概念;應用;拓展

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）19-0047-04

我們知道，“條件概率”是舊課標教材當中要求掌握的部分，新的課程改革在原有內容基礎之上，增加了全概率公式與貝葉斯公式. 全概率公式在新版高中數學教材中被重點進行介紹，并具備“承上啟下”的關鍵過渡作用，在表現形式上拓展了條件概率，同時也作為貝葉斯公式成立的理論基礎. 所以，對全概率公式的掌握是至為重要的. 我們將由淺入深地從三個層次——概念層次、應用層次、拓展層次上對全概率公式進行解讀，明確其概念和應用.

1 概念層次：全概率公式是對條件概率概念的繼承和發展

2 應用層次：全概率公式應用的關鍵是對樣本空間做好劃分

3 拓展層次：全概率公式是描述動態概率過程的重要工具

經過剛才的分析，我們可以看到，全概率公式的理論基礎是基于條件概率，條件概率在刻畫事件之間的關系中更具備一般性.在一些數學問題中，全概率公式往往能夠與數列遞推式結合在一起，具體例子如同下面的例3. 這道題目很多同學和老師在解決以后都會存在一些疑惑：究竟題目中的遞推式是怎么推出來的，如果不給這個遞推式，根據題目中的已知信息，我們能自己推導出這個遞推式嗎？我們一起來看下面的分析.

例3（2019全國Ⅰ卷）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物實驗，試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗，對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥. 一輪治療的結果得出后，再安排下一輪試驗. 當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效. 為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈，則甲藥得1分，乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈，則乙藥得1分，甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈均得零分. 甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X.

這樣題目中的表達式就被我們推導出來了，可以看到，本題就是基于全概率公式進行構造的. 同時，p_i的數值構成了一個新數列，所以，后續的處理是基于數列遞推式的處理技巧，限于篇幅，我們不做過多分析. 但是，這說明了很重要的一點，就是隨著i的變化，概率值也在發生變化，所以，這是一個動態的概率過程. 那么描述這個動態的概率過程的重要工具就是全概率公式. 所以，全概率公式在描述這樣的問題時有非常便捷的作用. 如果把甲藥的累計分數看作數軸上的點，那么每一次試驗積分即相當于當前積分“向前”“向后”移動一個位置或者“不動”，這即是數軸上的“隨機游走”問題. 我們不去過多介紹具體的理論背景，但是這種類似問題的突破關鍵就是“全概率公式”，我們可以用全概率公式來描述動態的概率問題.

4 總結與反思

全概率公式是目前高中數學新教材的新增內容，在新課標和新高考中必然會居于重要地位. 在學習中，要首先明確條件概率的概念和公式，在此基礎上才能夠對全概率公式加深理解. 進一步地，要學會劃分樣本空間，學會“執果索因”，才能夠在一個具體問題中知道什么時候應用全概率公式，能夠做到“理解并記憶”. 最后要明確全概率公式在一些更加復雜的問題中，可以描述動態的概率過程，明確其“工具性”，這樣能夠在實際問題中建立應用全概率公式的基本意識. 希望大家對全概率公式不再感到陌生，要敢用，會用，掌握好統計與概率，為后續進一步的學習開辟道路.

參考文獻：

[1] 田曉蘭.全概率公式在解題中的應用[J].數學學習與研究，2015（23）：100.

[2] 曹宇菁.全概率公式的推廣及其應用[J].數學的實踐與認識，2014，44（22）：305-308.

[3] 符方健.全概率公及其應用技巧[J].高等數學研究，2011，14（02）：52-55.

[責任編輯：李璟]