幾何圖形位置關系背景下設置的問題例析

童其林

直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系是解析幾何的重要內容. 具體來說，這部分內容主要研究直線方程，圓的方程，點到直線的距離，兩圓的位置關系的判斷與應用，弦長，切線方程，切點弦方程，公共弦方程，圓的軌跡，對稱，距離，最值等問題. 2022年的全國新高考1卷、2卷，全國高考甲卷、乙卷，北京卷考查了直線與圓、圓與圓的位置關系，考查了直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養. 下面讓我們先欣賞這些問題，并對這些問題做一個簡單的整理歸納，期望對你的復習備考有幫助.

例1.（2022年全國新高考1卷，14題）寫出與圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線的方程__________.

解析1：圓x2+y2=1的圓心為O（0，0），半徑為1，圓（x-3）2+（y-4）2=16的圓心O1為（3，4），半徑為4.

兩圓圓心距為=5，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切.

如圖1，當切線為l時，因為k=，所以kl=-，設方程為y=-x+t（t>0）.

O到l的距離d==1，解得t=，所以l的方程為y=-x+，

當切線為m時，設直線方程為kx+y+p=0，其中p>0，k<0，

由題意=1，

=4，解得k=-

，

p=

，y=x-.

當切線為n時，易知切線方程為x=-1，

故答案為y=-x+或y=x-或x=-1.

點評：先判斷兩圓位置關系，分情況討論即可.

解析2：畫出圖像，觀察即可得到其中的一條公切線方程n為x=-1.

兩圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16左右兩邊相減，即得其中的一條公切線方程l為3x+4y-5=0.

因為另一條公切線m過點A（-1，-），所以可設此方程m為y+=k（x+1）（k>0），即kx-y+k-=0，所以=1，解得k=，所以直線m為7x-24y-25=0. 可驗證，點O1（3，4）到直線m的距離為4，所以7x-24y-25=0為兩圓的一條公切線方程.

故答案為x=-1，或3x+4y-5=0，或7x-24y-25=0.

點評：畫出圖像，觀察圖像，可以減少運算量.

例2.（2022年全國新高考2卷，14題）設點A（-2，3），B（0，a），若直線AB關于y=a對稱的直線與圓（x+3）2+（y+2）2=1有公共點，則a的取值范圍是________.

解析：A（-2，3）關于直線y=a對稱的點的……