揭秘數列考題的信息密碼

涂天明

“不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層.”今年數學高考試題之難超乎你想象，還上了輿論風口浪尖，顛覆了考生對數學的認知. 有考生戲稱上午尚可本手妙手俗手的還還手，下午直接無從下手. 有這么難嗎？真是內行看門道，外行看熱鬧. 作為數學的重要研究對象，數列的定位一直很明確，數列是特殊的函數，是離散函數. 它具有函數的屬性，離散函數的圖像是一些離散的點，它不連續但可數. 研究數列既有利于研究其它函數，又可以解決一些日常生活中的離散型模型的實際問題. 從內容看，數列的概念有直觀想象與數學抽象，根據數列的前幾項歸納出其通項公式，但要嚴謹是需要用數學運算與邏輯推理證明的，都是基于數學科核心素養展開的. 等差數列、等比數列是重點，按定義-通項公式-前n項和公式順序研究是正確的，此乃數列之核心與本質，相關數學思想、方法、技巧蘊含其中. 初學就要善于用函數的觀點看數列，方能站得高看得遠，為后續數學分析中數列極限、級數、p階等差數列等學習奠定基礎.

一、數列考題呈現，體驗霧里看花

題目：【2022年全國高考新課標I卷數學第17題】記Sn為數列{an}的前n項和，已知a1=1，數列{}是以公差為的等差數列.（1）求數列{an} 的通項公式;

（2）證明：++…+<2.

【一般解法】（1）∵a1=1，∴=1，由數列{}是以公差為的等差數列，知=1+=，即Sn=an. 當n≥2時，Sn-1=an-1，于是an=Sn-Sn-1=an-an-1，即an=an-1，即=. ∴=，=，=，…，=，將這些式子疊乘可得，···…·=×××…×==，∵a1=1，∴an=.

（2）由（1）知an=，∴==2（-），

∴++…+=2[（1-）+（-）+…+（-）]=2（1-）<2.

【點撥】國家為了突出高考選拔功能，今年高考數學試題難度偏大，從2021廣東省中考數學試……