橢圓知識結(jié)構(gòu)與拓展

2017-04-28 06:38:10河南南陽市一中鄭書芬

中學生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學) 2017年12期

■河南南陽市一中鄭書芬

一、知識結(jié)構(gòu)框架

二、實例分析

題型一：橢圓的定義及其簡單性質(zhì)

已知焦點在x軸上的橢圓1的離心率是e,且,則實數(shù)m的取值范圍為_____。

解：因為橢圓=1的焦點在x軸上,所以0＜m＜2。因為e,所以e。因為所以＜1,解得0＜m所以實數(shù)m的取值范圍為

點評:求與離心率范圍有關的問題,關鍵是找出a、b、c滿足的關系式,然后轉(zhuǎn)化成關于e的方程或不等式進行求解,同時要注意隱含條件e∈(0,1)。

題型二：橢圓的標準方程

橢圓中心是坐標原點,長軸在x軸上,離心率,已知點到橢圓上的點的最遠距離是7,求這個橢圓的標準方程。

解：設所求橢圓方程為1(a＞b＞0)。

因為,所以a=2b,于是橢圓方程化為=1。

設橢圓上的點M(x,y)到點P距離為d,則d2=x2+=4b2+y2-3y+=-3+4b2+3。

對f(y)=-3+4b2+3的最值情況進行討論:

(1)當-b≤-,即b≥時,=4b2+3=7?b=1,橢圓標準方程為=1;

(2)當＜-b,即b＜時,=f(-b)=7?b=7,與矛盾。

綜上所述,當y=時,有=4b2+3=7,b=1。

故所求橢圓方程為+y2=1。

點評:(1)利用離心率確定a與b的關系。(2)利用最值進一步確定b的值。(3)由橢圓方程=1(a＞b＞0)得-b≤y≤2b,由d2=-(y )+4b2+3知d2是y的二次函數(shù),其對稱軸為y=,故應就二次函數(shù)對稱軸與區(qū)間[-b,b]的位置關系進行討論。本題容易在求最值時忽視b的范圍而沒有加以討論,導致解題過程出錯。

題型三：焦點三角形

設P為橢圓=1(a＞b＞0)上任意一點(不在x軸上),F1,F2為焦點,且∠F1PF2=θ,證明:

(1)△F1PF2的周長為定值2a+2c;

(2)在△F1PF2中,有S△F1PF2=b2·

(3)在△FPF中,有cos1=1-2e2,并且點P在y軸上時θ角的張角最大。

證明：(1)△F1PF2的一邊長為焦距2c,另兩邊的和為定值2a,所以周長為定值2a+2c。

(2)記|PF1|=r1,|PF2|=r2,由橢圓的第一定義得,r1+r2=2a,故(r1+r2)2=4a2。

在△F1PF2中,由余弦定理得-2r1r2cosθ=(2c)2。

配方得(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cosθ=4c2,即4a2-2r1r2(1+cosθ)=4c2。

由任意三角形的面積公式得:

(3)設|PF1|=r1,|PF2|=r2,則在△F1PF2中,由余弦定理得:

當且僅當r1=r2,即點P在y軸上時cosθ取得最小值,而角θ取得最大值。

點評:(1)利用橢圓的定義求周長。(2)利用正、余弦定理相結(jié)合求解面積。(3)通過本例要掌握以下結(jié)論:①橢圓上一點和兩焦點組成的三角形叫焦點三角形,有一個角為直角的焦點三角形叫焦點直角三角形;②橢圓中 S△F1PF2=b2tan;③ 在橢圓的△F1PF2中,有cosθ-1=1-2e2,并且點P在y軸上時θ角的張角最大。

跟蹤練習：

1.求過點 (),且與橢圓=1有相同焦點的橢圓的標準方程。