由一道最值問題談分式型柯西不等式的應用

■鄭州外國語學校 楊春波 邱培云

1.引例

在必修五第三章《基本不等式》一節的日常練習中有這樣一道題目:已知正數x,y滿足x+y=1,求的最小值。

此題有如下兩種常見解法:

解法1將所求最小值的式子乘以常數1(即x+y),解法2將所求最小值式子分子中的常數1用x+y進行代換,這都屬于“1”的巧妙運用,目的是構造出乘積為定值的式子,為基本不等式的運用創造條件。不可否認,以上解法具有一定的技巧性,同學們首次碰到這類問題時很難獨立想到。需要指出的是,這類分式最值問題其實可用分式型柯西不等式求解。下面為同學們介紹分式型柯西不等式的具體內容,并舉例說明它在解題中的應用。

2.分式型柯西不等式

在選修4-5《不等式選講》中,有二維形式的柯西不等式:設x1,x2,y1,y2∈R,則:

≥(x1y1+x2y2)2,當且僅當x1y2=x2y1時,等號成立(證明過程略)。

二維的分式型柯西不等式只是上述不等式的變形:設x1,x2∈R,y1,y2＞0,則:

證明：由柯西不等式得:

其實,我們也可直接用分析法給出證明:已知y,y＞0,要證≥12即證(y1+y2)+(y1+y2)≥(x1+x2)2y1y2。展開整理得+≥2x1x2y1y2,亦即(x1y2-x2y1)2≥0,顯然成立,當且僅當xy=xy,即時,等號1221成立。

多次運用二維形式的分式型柯西不等式,便可將其推廣到三維形式以及n維形式。

三維分式型柯西不等式:設x1,x2,x3∈R,y1,y2,y3＞0,則:

證明：由二維分式型柯西不等式知:

n維分式型柯西不等式:設x1,x2,…,xn∈R,y1,y2,…,yn＞0,則:

3.分式型柯西不等式應用舉例

分式型柯西不等式在處理分式最值問題時簡單快捷,十分有效,因為它既不需要像基本不等式那樣巧用常數,也不需要像柯西不等式那樣配湊數組。比如用分式型柯西不等式解決文章開頭的引例:(1 +)2=3+2,當且僅當,即y=x=2-時取等號,故所求最小值為3+2。

3.1求解最值問題

求函數y=在)上的最小值。

若正數x,y滿足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值。

已知正數x,y滿足x+y=10,求x+y的最小值和最大值。

若a＞b＞c,則有最小值,還是有最大值?并求出對應值。

3.2證明不等式

設a,b,c∈R,且a+b+c=1,求證:a2+b2+c2。

證明：a2+b2+c2=。

(2009年南京大學自主招生試題)P為△ABC內一點,它到三邊BC,CA,AB的距離分別為d1,d2,d3,S為△ABC的面積,求證:(這里a,b,c分別表示BC,CA,AB的長度)

3.3綜合問題

設a＞0,b＞0,且不等式≥0恒成立,求實數k的取值范圍。

已知不等式(x +y)≥9對任意正實數x,y恒成立,求正數a的最小值。

解：(x+y)≥(x+y)(1+)2,當且僅當等號成立,故(x+y)·的最小值為

若直線2ax-by+2=0(a＞0,b＞0)被圓x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦長為4,求的最小值。

解：x2+y2+2x-4y+1=0,即(x+1)2+(y-2)2=4,表示以 (- 1,2)為圓心,以2為半徑的圓。又直線2ax-by+2=0被圓截得的弦長為4(直徑長),故直線通過圓心,a+b=1。3+2,當且僅當b=a=2-時取等號,故最小值為3+2。(1+)2,因此。(1+a)2≥9,a≥4,即正數a的最小值為4。

已知正項等比數列{an}滿足a7=a6+2a5,若存在兩項am,ak,使得=4a,求的最小值。1

解：設公比為q,則a7=a6+2a5,整理得q2=q+2,得q=2或-1(舍去)。=4a1,即=4a1,得m+k=6。仿前可求的最小值為。

已知=23,∠BAC=30°。M 是△ABC內一點,不含邊界,設△MBC,△MCA,△MAB的面積分別為x,y,z,則稱(x,y,z)為點M的面積坐標。記f(x,y,z)=,求使f(x,y,z)取得最小值時的點M的面積坐標。

解：△ABC的面積S=AB·AC·sin∠BAC=·tan∠BAC=1,則x+y+z=1。所以f(x,y,z)==36,當且僅當,即x=,z=時取等號,則f(x,y,z)的最小值為36,此時點M的面積坐標為。