無處不在的充分必要條件

■山東棗莊二中 楊文金

一、考向分析

充分必要條件的判斷是歷年高考的熱點之一,這類試題在考查題型上,通常以選擇題或填空題的形式出現,難度較小,往往與數列、不等式性質、函數性質、集合運算、平面向量、立體幾何等數學知識有聯系。

二、解題技巧

解決此類問題一般先確定誰是條件誰是結論,然后要確定充要條件問題的類型。若是充要條件的判斷問題,需要根據條件和結論選擇合適方法判斷;若是已知充要條件求參數范圍問題,通常轉化為集合間的包含關系,借助數組求解。

對充要條件判定問題,首先,要確定誰是條件誰是結論,其次,要確定適合哪類判定方法。常用的判定方法有:(1)根據定義。若p?q,q?/ p,那么p是q的充分不必要條件,同時q是p的必要不充分條件;若p?q,那么p和q互為充要條件;若p?/ q,q?/ p,那就是既不充分也不必要條件。(2)當命題是以集合形式給出時,那就看包含關系。若p:x∈A,q:x∈B,若A≠B,那么p是q的充分不必要條件,同時q是p的必要不充分條件;若A=B,那么p與q互為充要條件;若沒有包含關系,就是既不充分也不必要條件。(3)利用命題的等價性。根據互為逆否命題的兩個命題等價,將p是q條件的判斷,轉化為﹁q是﹁p條件的判斷。

三、防錯指導

1.在處理充要條件問題時,要分清誰是條件誰是結論,注意A是B的充分不必要條件與A的充分不必要條件為B的區別。

2.注意充分條件與充分不必要條件的區別:充分條件包括充分不必要條件與充要條件,條件集合是結論集合的子集,而充分不必要條件則條件集合是結論集合的真子集。

3.注意必要條件與必要不充分條件的區別:必要條件包括充要條件與必要不充分條件,結論集合是條件集合的子集,而必要不充分條件則結論集合是條件集合的真子集。

四、考題舉例

考題1：充要條件與集合

(2017年河南鄭州三模)已知集合A={x|lgx≥0},B={x|2x≤4},C={x|x-4( )x+2( )≤0},則“x∈A∩B”是“x∈C”的 ( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：由題意可得:A={x|x≥1},B={x|x≤2},C={x|-2≤x≤4},則A∩B={x|1≤x≤2},則“x∈A∩B”是“x∈C”的充分不必要條件。故選A。

考題2：充要條件與函數

(2017年山東日照三模)已知函數g(x)的定義域為{x|x≠0},且g(x)≠0。設p:函數f(x)=g(x)數,q:函數g(x)是奇函數,則p是q的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：由函數f(x)=g(x)是偶函數,可得f(-x)=f(x),故g(-x)=-g(x),所以函數g(x)是奇函數,充分條件成立。當函數g(x)是奇函數時,有g(-x)=-g(x),又g(x)=,可得函數f(-x)=f(x),所以函數f(x)是偶函數,即必要條件也成立。所以p是q的充要條件。

考題3：充要條件與三角函數

(2017年高考天津卷,理4)設θ∈R,則“”是 “sinθ＜”的( )。

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：?sinθ＜,但θ=0,sinθ＜,不滿足＜,所以是充分不必要條件,應選A。

(2017年炎德英才大聯考)已知函數f(x)=4sin2+x)-23cos2x-1,且給定條件p:“≤x≤”,條 件q:“＜2”,若p是q的充分不必要條件,則實數m的取值范圍是( )。

A.(3,5) B.[3,5]

C.(2,4) D.[2,4]

當≤x≤時,≤2x-,則≤sin(2x)≤1,所以f(x)∈ [3 ,5],又當＜2 時,f(x)∈(m-2,m+2)。若p是q的充分不必要條件,則,所以3＜m＜5,故選A。

考題4：充要條件與平面向量

(2017年河北武邑中學高三下學期第四次模擬)設向量a=(x -1,x),b=(x+2,x-4),則 “a⊥b”是 “x=2”

解析：若“a⊥b”,則a·b=(x-1,x)·(x+2,x-4)=(x-1)(x+2)+x(x-4)=2x2-3x-2=0,則x=2或x=。若“x=2”,則a·b=0,即“a⊥b”。所以“a⊥b”是“x=2”的必要不充分條件。故選B。

考題5：充要條件與數列

(2017年青海西寧二模)在△ABC中,A,B,C成等差數列是(b+a-c)·(b-a+c)=ac的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：(1)若A,B,C成等差數列,則2B=A+C,所以3B=180°,B=60°。

故由余弦定理得b2=a2+c2-ac,a2+c2-b2=ac。

故(b+a-c)(b-a+c)=b2-(a-c)2=b2-a2-c2+2ac=-ac+2ac=ac。

可得出(b+a-c)(b-a+c)=ac,故A,B,C成等差數列是(b+a-c)(b-a+c)=ac的充分條件。

(2)若(b+a-c)(b-a+c)=ac,則b2-(a-c)2=b2-a2-c2+2ac=ac,故a2+c2-b2=ac。由余弦定理得a2+c2-b2=2ac·cosB。

故cosB,B=60°。故60°-A=180°-(A+60°)-60°,即B-A=C-B,故A,B,C成等差數列。的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

故A,B,C成等差數列是(b+a-c)(b-a+c)=ac的必要條件。

綜上得,A,B,C成等差數列是(b+ac)(b-a+c)=ac的充要條件,故選C。

考題6：充要條件與不等式

(2017年遼寧實驗中學高三下學期第六次模擬)設命題p:實數x,y滿足x2+y2＜4,命題q:實數x,y滿足則命題p是命題q的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：命題p表示的是圖1中的圓的內部區域,命題q表示的是圖1中的三角形區域ABC,所以p是q的既不充分也不必要條件。故選D。

圖1

點評:對于判斷與點集(x,y)的集合有關的命題關系時,我們可以畫出兩個集合或命題的圖像,再根據小范圍推大范圍來判斷兩個集合或命題的關系,但是要注意兩集合相等或命題等價的情況。

考題7：充要條件與立體幾何

(2017年湖北黃岡高三三模)設m,n是空間兩條直線,α,β是空間兩個平面,則下列命題中不正確的是( )。

A.當n⊥α時,“n⊥β”是“α∥β”的充要條件

B.當m?α時,“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要條件

C.當m?α時,“n∥α”是“m∥n”的必要不充分條件

D.當m?α時,“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要條件

解析：當m?α時,“n∥α”? “m∥n”或m與n異面,“m∥n”?“n∥α或n?α”,所以當m?α時,“n∥α”是“m∥n”的既不必要又不充分條件,故C錯誤;當m?α時,“m⊥β”?“α⊥β”,“α⊥β”推不出“m⊥β”,所以當m?α時,“m⊥β”是“α⊥β”,的充分不必要條件,故B正確;當n⊥α時,“n⊥β”?“α∥β”,所以當n⊥α時 ,“n⊥β”是“α∥β”成立的充要條件,故A正確;當m?α時,“n⊥α”?“m⊥n”,“m⊥n”推不出“n⊥α”,當m?α時,“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要條件,故D正確。故應選C。

考題8：充要條件與解析幾何

(2017年河南洛陽高三月考)“a=”是“直線2ax+(a -1)y+2=0與直線(a +1)x+3ay+3=0垂直”的____條件(從“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分又不必要”中選取一個填入)。

解析：若兩條直線垂直,則2a(a +1)+3a(a -1)=0,解得a=0或a=,所以“a=”是“直線2ax+(a -1)y+2=0與直線(a +1)x+3ay+3=0垂直”的充分不必要條件。

考題9：充要條件與復數

(2017年江西鷹潭二模)“z=(其中i是虛數單位)是純虛數”是“θ=+2kπ”的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

故θ=2kπ+(k ∈Z)或θ=2kπ+π(k ∈Z),結合題意可知:“z=-(其中i是虛數單位)是純虛數”是“θ=+2kπ”的必要不充分條件,故應選B。