一道直線與橢圓有公共點問題的多種解法

■重慶市鐵路中學校 何成寶

題目：設直線l:y=kx-2和橢圓y2=1有公共點,求k的取值范圍。

解法一：(判別式法)

把直線l的方程y=kx-2代入橢圓方程,消去y,整理得:

(2k2+1)x2-8kx+6=0。

由Δ=(-8k)2-24(2k2+1)≥0,解得k≥或k≤-。

所以,直線l與橢圓有公共點時,k的取值范圍為。

點評:判別式法是處理直線與圓錐曲線位置關系時最常用的方法,方法較簡單,但運算較復雜。

解法二：(三角代換法)

把橢圓+y2=1的參數方程,代入直線l的方程得:

由題意可知關于θ的方程(★)有解,故≤1,1+2k2≥4。

解得k≥或k≤。

所以,直線l與橢圓有公共點時,k的取值范圍為。

點評:通過三角代換把關于x,y的方程問題轉化為關于θ的方程問題,對于直線、曲線有公共點的問題,用此方法往往能收到事半功倍的效果。

解法三：(數形結合法)

(2k2+1)x2-8kx+6=0。

若直線l與橢圓只有一個公共點,則Δ=(-8k)2-24(2k2+1)=0,解得k=或k=。如圖1,直線l:y=kx-2恒過點P(0,-2),所以,直線PA的斜率為,直線PB的斜率為

由圖可知,直線l與橢圓有公共點時,k的取值范圍為。

圖1

點評:通過數與形的結合,可以把抽象的問題具體化,復雜的問題簡單化。