豐富多彩的正方形

鮑愛珍

真題呈現

例1 （2021·重慶）如圖1，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，M是邊AD上一點，連接OM，過點O作ON⊥OM，交CD于點N. 若四邊形MOND的面積是1，則AB的長為（）.

A. 1 B. [2] C. 2 D. [22]

追根溯源

八年級下冊第63頁“實驗與探究”中的問題1：如圖2，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O又是正方形A1B1C1O的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等.無論正方形A1B1C1O繞點O怎樣轉動，兩個正方形重疊部分的面積始終等于一個正方形面積的[14]. 想一想，這是為什么.

思路點撥：本題考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質，只需證明△AOE ≌△BOF，即可得到S四邊形BEOF = S△AOB.

破解策略

解決例1的關鍵是尋找三角形全等的基本模型：正方形模型，如圖3;旋轉型全等三角形模型，如圖4.

解析：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠MDO = ∠NCO = 45°，OD = OC，∠DOC = 90°，∴∠DON + ∠CON = 90°.

∵ON⊥OM，∴∠MON = 90°，∴∠DON + ∠DOM = 90°，

∴∠DOM = ∠CON，∴△DOM≌△CON（ASA）.

∵S四邊形MOND = 1，S四邊形MOND = S△DOM? + S△DON，

∴S四邊形MOND = S△CON? + S△DON? = S△DOC，∴S△DOC = 1，

∴S正方形ABCD = 4，∴AB2 = 4，∴AB = 2. 故選C.

變式拓展

變式1 將圖1中的MO延長交BC于E，NO延長交AB于F，隱去對角線AC與BD，變換字母后即為八年級下冊第62頁第13題：

如圖5，E，F，M，N分別是正方形ABCD的四條邊上的點，且AE = BF = CM = DN. 試判斷四邊形EFMN是什么圖形，并證明你的結論.

結論：四邊形EFMN是正方形.（證明過程略）

變式2 將變式1中的“E，F，M，N分別是正方形ABCD四條邊上的點，且AE = BF = CM = DN”改為“E，F，M，N分別是正方形ABCD四條邊的中點”，變換字母后即為八年級下冊第67頁第6題：

如圖6，E，F，G，H分別是正方形ABCD各邊的中點，四邊形EFGH是什么四邊形？為什么？

結論：四邊形EFGH是正方形. （證明過程略）

變式3 在變式1中，增加正方形的邊長為已知條件，改變點E，F，M，N分別為AB，BC，CD，DA上的動點，變換字母后即為江蘇省泰州市的一道中考題（即例2）.

例2 如圖7，正方形ABCD的邊長為8 cm，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的動點，且AE = BF = CG = DH. 求證：（1）四邊形EFGH是正方形;（2）判斷直線EG是否經過一定點，并說明理由;（3）求四邊形EFGH面積的最小值.

解析：（1）證明過程略.

（2）用觀察、操作等方法，通過合情推理作出猜想：直線EG經過一定點.

如圖8，證明這個結論正確性的思路主要有兩種：

一是連接AC，EG，相交于點O，證明△AEO≌△CGO，得AO = CO，即O為AC的中點;二是連接AC，EG，相交于點O，連接EC，AG，證明四邊形AECG是平行四邊形，則AO = CO，即O為AC的中點.

（3）方法1：設AE = x cm，則AH = （8 - x）cm，

在Rt△AEH中，EH2 = AE2 + AH2 = x2 + （8 - x）2，

則S正方形EFGH = EH2 = x2 + （8 - x）2? = 2x2 - 16x + 64 = 2（x - 4）2 + 32，

當x = 4（即E為AB的中點）時，S正方形EFGH取最小值32 cm2.

方法2：易知S△HAE = S△EBF = S△FCG = S△GDH.

設AE = x cm，則AH = （8 - x）cm，

S正方形EFGH = S正方形ABCD - 4S△HAE = 64 - 4 × [12] x（8 - x）

= 2x2 - 16x + 64 = 2（x - 4）2 + 32.

當x = 4（即E為AB的中點）時，S正方形EFGH取最小值32 cm2.

分層作業

難度系數：★★★解題時間：15分鐘

1. 在例2中，小明證明直線EG一定經過正方形對角線的中點的方法如下，請你幫助分析一下，小明的證法是否正確？如果不正確，請你指出錯在哪里，如何糾正.

如圖9，連接AC，BD，設AC，BD交于點O，連接EO，GO.

∵四邊形ABCD為正方形，∴AB[?]CD，

∴∠EAO = ∠GCO，∠AEO = ∠CGO.

∵AE = CG，∴△AEO≌△CGO，∴AO = CO，

即EG一定經過正方形的對角線的中點O.

2. （2021·江蘇·泰州）如圖10，四邊形ABCD中，AB = CD = 4，且AB與CD不平行，P，M，N分別是AD，BD，AC的中點，設△PMN的面積為S，則S的范圍是_________.

（答案見第37頁）