一道中考題的探究與變式

高連德　左效平

真題呈現(xiàn)

例 （2021·四川·涼山）如圖1，在四邊形ABCD中，∠ADC = ∠B = 90°，過點D作DE⊥AB于E，DE = BE.（1）求證：DA = DC;（2）連接AC交DE于點F，若∠ADE = 30°，AD = 6，求DF的長. （本文僅分析第一問）

學(xué)法指導(dǎo)

解法1：構(gòu)造正方形法

如圖2，過點D作DG⊥BC，交BC的延長線于點G，

∵DE⊥AB，∠B = 90°，DG⊥BC，

∴四邊形DEBG是矩形.

∵DE = BE，∴四邊形DEBG是正方形，

∴DG = DE，∠EDG = ∠G = 90°.

∵∠ADC = 90°，∴∠GDC = ∠EDA，∴△GDC≌△EDA（ASA），∴DA = DC.

解法2：勾股定理法

如圖3，過點C作CG⊥DE，垂足為點G，

設(shè)DA = a，DC = b，DE = EB = x，AE = m，BC = n.

∵DE⊥AB，∠B = 90°，CG⊥DE，∴四邊形BCGE是矩形，

∴CG = BE = x，GE = BC = n，DG = DE - GE = DE - BC = x - n.

∵∠ADC = 90°，∠B = 90°，∠DGC = 90°，∠DEA = 90°，

∴[a2+b2=n2+（x+m）2]，[a2=x2+m2]，[b2=x2+（x-n）2]，

∴[a2+b2=2x2+m2+（x-n）2]，∴[2x2+m2+（x-n）2] = [n2+（x+m）2]，

∴[2x2+m2+x2-2xn+n2] = [n2+x2+2mx+m2]，

∴[2x2-2xn] = [2mx]，∴m = x - n，∴[m2=（x-n）2]，

∴[a2=b2]，∴a = b，即DA = DC.

解法3：全等三角形法

如圖3，過點C作CG⊥DE，垂足為點G，

∵DE⊥AB，∠B = 90°，CG⊥DE，∴四邊形BCGE是矩形，∴CG = BE = DE.

∵∠ADC = 90°，∠DGC = 90°，∴∠GCD = ∠EDA，∴△GCD≌△EDA（ASA），∴DA = DC.

變式演練

變式1：變換結(jié)論的表現(xiàn)形式.

如圖1，在四邊形ABCD中，∠ADC = ∠B = 90°，過點D作DE⊥AB于E，DE = BE.求證：∠DAC = 45°. （證明過程略）

變式2：變換已知和結(jié)論，展開新探索.

如圖1，在四邊形ABCD中，∠ADC = ∠B = 90°，過點D作DE⊥AB于E，若DA = DC. 求證：DE = BE.（證明過程略）

變式3：保持條件不變，探索面積型新結(jié)論.

如圖1，在四邊形ABCD中，∠ADC = ∠B = 90°，過點D作DE⊥AB于E，若DE = BE，則[S四邊形ABCD=DE2=BE2]. （證明過程略）

變式4：變化問題背景，探索結(jié)論的穩(wěn)定性.

如圖4，在正方形ABCD中，點E是CD邊上一動點（點E與點C，D不重合），連接AE，過點A作AE的垂線交CB的延長線于點F，連接EF. （1）依據(jù)題意，補全圖形;（2）求∠AEF的度數(shù);（3）連接AC，交EF于點H，若[FHEH=a]，用含a的等式表示線段CF和CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

解析：（1）補全圖形，如圖5所示.

（2）易證△ABF≌△ADE，可知△AEF是等腰直角三角形，則∠AEF = 45°.

（3）數(shù)量關(guān)系為CF = aCE.

理由：如圖6，過H作HM⊥DC，垂足為M，

過H作HN⊥BC，垂足為N，易證四邊形MHNC是矩形，

由∠HCM = ∠HCN = 45°，易得∠HCM = ∠MHC，

∴HM = CM，

∴HM = HN，

∴[S△FHCS△EHC=12CF·HN12CE·HM=FCEC=FHEH=a]，

∴CF = aCE.