以一次函數(shù)為背景的規(guī)律探究

程蘭

一、探索圖形面積

例1 （2021·廣西·梧州）如圖1，直線l的函數(shù)表達式為y = x - 1，在直線l上順次取點A1（2，1），A2（3，2），A3（4，3），A4（5，4），…，An（n + 1，n），構(gòu)成形如“┐”的圖形的陰影部分面積分別表示為S1，S2，S3，…，Sn，則S2021 = .

解析：∵A1（2，1），A2（3，2），A3（4，3），A4（5，4），…，An（n + 1，n），

∴S1 = [12] × （1 + 2） × 1 + [12] × （2 + 3） × 1 =? 4 = 2 × 1 + 2，

S2 = [12] × （2 + 3） × 1 + [12] × （3 + 4） × 1 = 6 = 2 × 2 + 2，

S3 = [12] × （3 + 4） × 1 + [12] × （4 + 5） × 1 = 8 = 2 × 3 + 2，

…

Sn = 2n + 2，

∴當(dāng)n = 2021時，S2021 = 2 × 2021 + 2 = 4044. 故應(yīng)填4044.

二、探索點坐標(biāo)

例2 （2021·貴州·畢節(jié)）如圖2，點N1（1，1）在直線l：y = x上，過點N1作N1M1⊥l，交x軸于點M1;過點M1作M1N2⊥x軸，交直線l于N2;過點N2作N2M2⊥l，交x軸于點M2;過點M2作M2N3⊥x軸，交直線l于點N3;……，按此作法進行下去，則點M2021的坐標(biāo)為 .

解析：如圖3，過N1作N1E⊥x軸于E，N1F⊥y軸于F，

∵N1（1，1），∴N1E = N1F = 1，∴∠N1OM1 = 45°，

∴∠N1OM1 = ∠N1M1O = 45°，

∴△N1OM1是等腰直角三角形，∴N1F = OF = EM1 = 1，

∴OM1 = 2，∴M1（2，0）.

同理，△M2ON2是等腰直角三角形，∴OM2 = 2OM1 = 4，∴M2（4，0），

同理，OM3 = 2OM2 = 22OM1 = 23，∴M3（23，0），∴OM4 = 2OM3 = 24，∴M4（24，0），…

依次類推，則M2021（22021，0）.故應(yīng)填（22021，0）.