數學教學，需要慢的藝術

劉一萍

[摘 ?要] 教育是慢的藝術. 文章以“探索直角三角形全等的條件”的教學為例，探尋初中數學慢的教學藝術路徑，即創設情境，引入主題;合作交流，獲得新知;變式應用，拓展延伸，以拓展學生思維空間，發展學生數學能力，促進學生核心素養的生成.

[關鍵詞] 慢教育;藝術;初中數學

教育就是慢的藝術，所謂“慢”就是平靜和平和，就是細致和細膩，需要數學教師的耐心與耐性[1]. 數學本質的獲取需要經過內在加工與提煉的過程，需要緩慢的時間與一定空間. 因此，在慢教育的過程中，教師要引導學生經歷數學知識的形成發展過程，在知識的深度與廣度方面有所保障，才能拓展學生思維空間，發展學生數學能力，促進學生核心素養的生成. 筆者以“探索直角三角形全等條件”的教學為例，展現教育的慢理念.

創設情境，引入主題

師：關于判定兩個一般的三角形全等，我們已經學習了哪些方法？

生：判定兩個一般的三角形全等，我們已學習了四種方法，一是邊角邊，二是角邊角，三是角角邊，四是邊邊邊.

師：由此可見，要判定兩個三角形全等，至少需要三個條件，其中一個至少是邊相等.

多媒體呈現：如圖1所示，新蕾幼兒園剛進了一個滑梯，左右兩個滑梯長度相等，左邊滑梯的高度與右邊滑梯水平長度相等. △ABC與△DEF全等嗎？兩個滑梯的傾斜角∠ABC與∠DFE有什么關系？

生：根據已知條件，可得在△ABC與△DEF中，只有兩組邊相等的條件，即BC=EF，AC=DF，而判定兩個三角形全等至少需要三個條件，因此，無法判定這兩個三角形全等.

生：還有一個隱含條件，即∠BAC=∠EDF=90°，但是這樣構成的全等條件是“邊邊角”，“邊邊角”不能判定兩個三角形全等.

師：兩位同學分析得很到位，根據目前的條件無法判定這兩個直角三角形全等，但是幼兒園的工作人員認為，這兩個三角形全等，你認可他們的結論嗎？

學生感到困惑……

設計意圖 ?引入生活模型，創設問題情境，讓學生慢慢地體悟與思考，對生活實際問題進行提煉，發展學生抽象數學模型的能力;學生是教學活動的主體，讓學生參與到新知識的獲取當中，發現生活實際與數學的關系，認識與領悟到學習數學的意義. 知識生長的過程被拉長，學生通過慢慢地領悟，實現了知識的銜接與生長，在慢思維的參與下，引出教學主題，即直角三角形全等的條件[2].

合作交流，獲得新知

師：請同學們嘗試畫出下面的圖形. （1）任意畫一個直角，∠QCP=90°;（2）在射線CP上截取一條長為2 cm的線段CB;（3）以點B為圓心，以4 cm的長為半徑畫弧，與射線CQ交于點A，連接AB. 大家嘗試把各自畫的圖疊合在一起，看是否能重合，能得出什么樣的結論.

生：我們組的幾個同學畫的直角三角形（如圖2所示）疊合在一起，發現這些直角三角形能互相重合，認為這些直角三角形全等.

師：請學生嘗試畫出下面的圖形：（1）任意畫兩條互相垂直的直線，垂足為D;（2）在其中一條垂線上任取一點A，以這一點為圓心，以大于AD的長為半徑畫弧，這個弧與另一條垂線有兩個交點B，C;（3）連接AB，AC，得到△ABD與△ACD，那么這兩個三角形全等嗎？

生：我們組畫出了如圖3所示的圖形.

師：請同學們用折紙的方法驗證一下△ABD與△ACD是否全等？為什么？

生：△ABD與△ACD全等.因為這兩個三角形折合在一起能互相重合.

師：請同學們畫一畫三角形ABC，使∠B=40°，AB=4 cm，AC=3 cm，然后把所畫圖形放在一起，看它們是否重合？

生：老師，我畫出如圖4所示的圖形，我同桌畫出了如圖5所示的圖形. 這兩個圖形，一個是鈍角三角形，一個是銳角三角形，它們不重合.

師：圖3的△ABD與△ACD具備什么相等的條件？圖4與圖5的兩個三角形具備什么相等的條件？為什么圖3的兩個三角形全等，而圖4與圖5的兩個三角形卻不全等？

生：圖3的△ABD與△ACD具備兩邊一角相等的條件，圖4與圖5的兩個三角形也具備兩邊一角相等的條件. 圖3的兩個三角形全等，是因為這兩個三角形都是直角三角形.

師：從這里可以看出，使用“邊邊角”判定兩個三角形全等，必須是兩個直角三角形. 也就是說，只有當兩個直角三角形，有一條斜邊和一條直角邊分別相等時，這兩個直角三角形才全等. 這就是今天學習的判定兩個直角三角形全等的方法，簡記為“斜邊直角邊”或“HL”，請同學們用圖形語言與符號語言表示這個定理.

生：如圖6所示，在Rt△ABC和Rt△DEF中，因為BC=EF，AC=DF，所以Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.

設計意圖 ?在慢慢地操作與教學流程中，引導學生突破重點知識，把學生教活、教深，發展學生的口頭表達、動手操作、演繹推理等能力. 畫圖是歸納結論的有力抓手，也是進一步總結的依據. 本環節學生經歷了三次畫圖，第一次畫圖旨在讓學生通過斜邊直角邊可以確定一個直角三角形，通過學生之間所畫直角三角形的疊合，感受通過斜邊直角邊可以判定兩個直角三角形全等. 第二次畫圖從具體到一般，讓學生再次經歷利用斜邊直角邊可以判定兩個直角三角形全等. 第三次畫圖，雖然也具有兩邊及一角相等，但是它們并不全等，與第二次畫圖對照，突出強調斜邊直角邊定理成立的前提條件是兩個直角三角形. 緩慢的操作為學生提供了充足的思考空間，在學生靜靜地思考與徐徐地交流中，學生體驗了知識的來龍去脈，不僅知其然，也知其所以然，認識由感性上升為理性，實現了思維的突破.

變式應用，拓展延伸

如圖7所示，在△ABC中，AB=AC，DE是過點A的直線，BD⊥DE于點D，CE⊥DE于點E，B，C在DE的同側，且AD=CE. 求證：AB⊥AC.

生：因為BD⊥DE，CE⊥DE，根據垂直的定義，得∠ADB=∠AEC=90°，在Rt△ABD和Rt△ACE中，因為AB=AC，AD=CE，根據斜邊直角邊定理，得Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）. 根據全等三角形對應角相等，得∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC. 根據直角三角形兩銳角互余，得∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，所以∠DAB+∠EAC=90°. 所以∠BAC=180°-（∠BAD+∠CAE）=90°，即AB⊥AC.

師：這位同學能很快抓住題中兩個垂直，及兩組相等的線段，利用斜邊直角邊定理獲證，很好！如果過點A的直線DE與BC相交時，結論還成立嗎？

變式1 ? 在△ABC中，AB=AC，DE是過點A的直線，BD⊥DE于點D，CE⊥DE于點E，B，C在DE的兩側（如圖8所示），且AD=CE，AB與AC仍垂直嗎？若是，請給出證明;若不是，請說明理由.

生：AB⊥AC. 理由如下：因為BD⊥DE，CE⊥DE，根據垂直的定義，得∠ADB=∠AEC=90°，在Rt△ABD和Rt△CAE中，因為AB=AC，AD=CE，根據斜邊直角邊定理，可以得到Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）. 所以∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC. 因為∠CAE+∠ECA=90°，所以∠CAE+∠BAD=90°. 所以∠BAC=90°，即AB⊥AC.

變式2 ?如圖8所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過點A的一條直線，且B，C在AE的異側，BD⊥AE于點D，CE⊥AE于點E，求證：BD=CE-DE. 這道試題還能否用斜邊直角邊定理解答呢？為什么？

生：這道題不能用斜邊直角邊定理解答，因為△ABD與△CAE只有一組邊相等.證明如下：因為∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，所以∠BDA=∠AEC=90°. 因為∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°，根據同角的余角相等，得∠ABD=∠CAE，因為AB=AC，在△ABD和△CAE中，因為∠BDA=∠AEC，∠ABD=∠CAE，AB=AC，根據角角邊定理，得△ABD≌△CAE，所以BD=AE，AD=CE，因為AE=AD-DE，所以BD=CE-DE.

設計意圖 ?問題是培養學生思維的有效載體. 問題的呈現，能讓學生在慢交流與慢討論中，凸顯思維過程，實現精確思考，能使學生的思維能力得到培養. 變式訓練，拉長了實踐與應用的過程，緩慢的進程有利于學生體會思維的嚴謹性與數學的縝密性，有些教師認為變式訓練耗時耗力，擾亂了正常的教學預設，但不可否認的是，它有利于學生思維的慢性回歸，能讓學生的思維不斷地向深處漫溯.

慢不是一種重復，而是一種藝術. 只有在慢下腳步后，學生學習才更加充實豐盈[3]. 慢課堂是長效的課堂，是深度教學的課堂.

參考文獻：

[1]楊勇. 初中數學慢教育策略[J]. 中小學班主任，2020（08）：52-53.

[2]黃燕紅. 慢教育視閾下的初中數學概念教學研究[D]. 福建師范大學，2018.

[3]孫朝仁，朱桂鳳. 具身認知：數學“慢教育”復習的范式[J]. 教育研究與評論（中學教育教學），2017（10）：68-71.