“寶藏的位置”問題中的秘籍

卞娜

提出問題

喬治·伽莫夫是一位出生于俄國的美籍物理學家，在其所著的《從一到無窮大》中，有一段小故事引出了一個經典的數學問題：

從前，有一個愛冒險的年輕人，在曾祖父的遺物中發現一張羊皮紙，上面寫著：

乘船至北緯××，西經××，即可找到一座荒無人煙的小島. 島的北岸有一大片草地. 草地上有一株橡樹和一株松樹，還有一座絞架. 從絞架走到橡樹，記住走了多少步. 到了橡樹后向右拐個直角，再走同樣的步數后，在這里打個樁.回到絞架，朝松樹走去，也記住所走的步數. 走到松樹后向左拐個直角，再走同樣的步數后，在這里也打個樁. 在這兩個樁的中間挖下去，就能找到寶藏.

這位青年租了一條船開往目的地，果然發現了荒島，也找到了島上的橡樹和松樹. 但令他大失所望的是，絞架無影無蹤，不知去向. 年輕人陷入了絕望，在地上亂挖起來. 但是，地方太大了，一切努力只是徒勞. 他只好兩手空空，啟帆回程.

其實，這位冒險家若能仔細思考，就能獲得寶藏. 因為埋藏寶藏的地點只依賴于橡樹和松樹的位置，與絞架的位置根本無關！

大膽猜想

如圖1，點A，B分別表示松樹和橡樹，點C表示絞架原來的位置. 從點C出發往點A走，左轉90°后再走相同的長度，所到之處記為點D. 換句話說，AC = AD，且∠CAD = 90°. 然后，從點C出發往點B走，右轉90°后再走相同的長度，所到之處記為點E. 換句話說，BC = BE，且∠CBE = 90°. 連接DE，DE的中點M就是寶藏的位置.

點M好像會和A，B兩點構成等腰直角三角形. 若此猜想成立，則表明點M的位置由A，B兩點的位置確定，與點C的位置無關！下面就對這個猜想進行驗證.

驗證猜想

思路點撥：要證△ABM是等腰直角三角形，結合已知條件“點M是DE的中點”，可采用“倍長中線法”，即延長AM至點N，使MN = AM，連接BN， 易證△AMD≌△NME.

下面只需證明△ABN是等腰直角三角形即可，這就需要證明△ABC≌△NBE，難點在于證明∠ACB = ∠NEB. 觀察這兩個角的兩邊，我們發現其中一條邊BC，EB互相垂直，聯想“如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補”，可以大膽猜測∠ACB與∠NEB的另一條邊AC與EN也必然互相垂直. 于是想到延長AC，交EN的延長線于點F.

如圖2，易證NE = AD = AC，∠ADM = ∠NEM.

∴AD[?]NE. ∴∠F = ∠DAC = 90°.

∵∠CBE = 90°. ∴∠F + ∠CBE = 180°，

∴∠BCF + ∠BEF = 180°.

∵∠ACB + ∠BCF = 180°，∴∠ACB = ∠BEN.

∵BC = BE，AC = NE，∴△ABC≌△NBE，

∴AB = NB，∠ABC = ∠NBE，

∴∠ABN = ∠ABC + ∠CBN = ∠NBE + ∠CBN = ∠CBE = 90°.

∴△ABN是等腰直角三角形. 又∵AM = MN，∴△ABM是等腰直角三角形.

歸納總結

寶藏的位置僅與橡樹和松樹的位置有關，而與絞架的位置無關. 點C可以移到整個平面上的任意位置，甚至可以移到線段AB上，點M的位置仍然不變. 也就是說，只要以點A，B以外的任意一點（點A，B除外）作為絞架的位置，就一定能找到寶藏. 同學們可以嘗試一下圖3中的七種情形. 其實，這個尋寶問題只不過是一個與定點有關的幾何游戲而已！

[A][B][E][M][D][C][E][M] [D][A][C][B] [B][C][A][D][M][E][B][C][D][A][M][E] [D][B][A][C][E][E][M][D][A][C][B][B][A][D][C][M][E]

（作者單位：山東省膠州市瑞華實驗初級中學）