例析壓強與浮力綜合計算

王瑩

力學綜合計算一直是每年中考考查的難點之一，涉及的知識點多，對同學們的分析能力要求很高。下面以一道壓強與浮力的綜合計算題為例進行分析。

考點提煉

對于壓強與浮力的綜合計算問題，要在理解題目動態變化趨勢的基礎上，運用公式及其變形解決有關問題，具體需要注意以下兩點：

（1）壓強計算公式[p=FS]不僅適用于固體壓強的計算，還適用于液體壓強、氣體壓強的計算，液體壓強的計算還可以直接利用公式[p=ρgh]（[p=ρgh]同樣適用于均勻規則固體的壓強計算）。

（2）物體在液體中的壓強與浮力綜合計算問題，需要判斷出物體在液體中的狀態，根據漂浮、懸浮、下沉等不同狀態進行綜合計算。

真題精講

例 （2021·四川·成都 ）如圖1甲所示，薄壁圓柱形容器放在水平臺上，容器的底面積[S甲=100 cm2]，將質量均勻的圓柱體物塊上表面中央用足夠長的細繩系住，懸掛于容器中。以恒定速度（100 g/min）向容器中緩慢注水，直至注滿容器為止，細繩的拉力大小與注水時間的關系圖象如圖1乙所示。（[ρ水=1 g/cm3]，[g=10 N/kg]，物塊不吸水，忽略細繩體積、液體擾動等其他次要因素。）

（1）求注水前圓柱體物塊的下表面到容器底部的距離[L1];

（2）當細繩的拉力為0.9 N時，求水對物塊下表面的壓強;

（3）若改為以恒定速度向容器中緩慢注入另一種液體（100 cm3/min，[ρ液體=1.5 g/cm3]），直至9.4 min時停止。求容器底部所受液體的壓強p與注液時間tx分鐘（[0≤tx≤9.4]）的函數關系式。

解析：這是壓強計算的動態平衡問題，厘清向容器注水的動態平衡過程是解決本題的關鍵。根據題意，結合圖1乙中細繩的拉力大小與注水時間的關系可以看出[G=2.4 N]、[L1=4 cm]。下面重點分析問題（2）與（3）。

（2）當[F拉=0.9 N]時，[F浮=G-F拉=2.4 N-0.9 N=1.5 N]，即[F壓=1.5 N]。

當[t=7min]時，水剛好浸沒圓柱體，則F[浮] = G [-] F[拉] = 2.4 N [-] 0.4 N = 2.0 N，則[V物=V排=F浮ρ水g=2.0 N1.0×103kg/m3×10 N/kg=2.0×] 10-4m3 = 200 cm3，在4 [?] 7 [min]內注水體積[V水=300 cm3]，則圓柱體高度[h=V物+V水S容器=200 cm3+300 cm3100 cm2=5 cm]，則圓柱體底面積[S物=V物h=200 cm35 cm=40 cm2] = 4.0 ×10-3m2，因此，[p=F壓S物=1.5 N4.0×10-3m2=375 Pa]。

（3）根據題意可以測出容器高度[h容=4 cm+5 cm+2 cm=11 cm]，[ρ物=m物V物=240 g200 cm3=1.2 g/cm3<ρ液]，因此，注液到一定高度時，圓柱體會漂浮在液面上，本題需分時間段求[p-tx]的函數關系式。

①當[0≤tx≤4 min]時，[p1=ρ液gh1=1.5×103 kg/m3×10 N/kg×100tx100×10-2 m=150tx]。當[tx=4 min]時，[p1=600 Pa]。

②圓柱體漂浮時，[F浮=G物=2.4 N]，則[V排=F浮ρ液g=2.4 N1.5×103kg/m3×10 N/kg=160 cm3]，則物體浸入液體深度[h浸=V排S物=160 cm340 cm2=4 cm]，從第4 min到物塊剛好漂浮時的注液體積V液 = （S容 - S物）·h浸 = 240 cm3，則注液時間[tx=2.4 min]時，物體開始漂浮。

當[4< tx≤6.4? min]時，p2 = 600 Pa + [Δ]p = （250tx - 400）Pa ，當[tx=6.4min]時，p2 = 1200 Pa。

③容器還需注液深度為3 cm，即[300 cm3]。因此，當[6.4

答案：（1）4 cm （2）375 Pa （3）[0≤tx≤4 min]時，[p1=150tx]Pa;[4

總結提升

涉及液體的壓強與浮力的綜合計算問題，往往會將物體在液體中不同的狀態融入綜合計算之中，這樣需要根據題意判斷出物體在液體中的狀態才能科學分析與計算，如本題中問題（2），根據圖1乙判斷出物重[G=] 2.4 N，當物體在水中受到[F拉=] 0.9 N時，[F浮=] 1.5 N，也就是物體在水中不會漂浮或懸浮，這是順利完成問題（2）的前提。

對于物體在液體中可能會出現不同狀態的壓強與浮力綜合計算問題，判斷物體在液體中的不同狀態是解決問題的關鍵之一，如本題中問題（3），需要通過計算分析出注液時間[tx=2.4 min]時，物體開始漂浮，然后對物體在不同狀態下的情況進行分析討論。

專題精練

1. （多選）在底面積為S的薄壁柱形容器內注入適量的水，讓空燒杯漂浮在水面上，測出水的深度為h0，如圖2所示;再將一金屬球放入燒杯中，此時燒杯仍漂浮在水面上，測出水的深度為h1;最后將該金屬球取出放入水中（空燒杯仍漂浮在水面上），待金屬球沉底后測出水的深度為h2。已知水的密度為ρ水，則（）。

A. 金屬球的密度為[h1-h0h2-h0·ρ水]

B. 金屬球的密度為[h1-h2h2-h0·ρ水]

C. 金屬球沉底后，它對容器底的壓力為ρ水g（h1 - h2）S

D. 金屬球沉底后，它對容器底的壓力為ρ水g（h1 - h0）S

2. 如圖3甲所示，盛有水的薄壁圓柱形容器放在水平桌面上，容器的底面積為S，彈簧測力計下懸掛一個長方體金屬塊，從水面開始緩慢浸入水中，在金屬塊未觸底且水未溢出的過程中，測力計示數F隨金屬塊浸入水中深度h的關系圖象如圖3乙所示，下列分析錯誤的是（）。

A. 金屬塊逐漸浸入水的過程，受到的浮力一直在減小

B. 金屬塊的高度為h1

C. 金屬塊的密度為[F1F1-F2·ρ水]

D. 金屬塊浸沒后與入水前相比，水平桌面受到的壓強增加[F1-F2S]

答案：1. AC2. A

（作者單位：江蘇省興化市板橋初級中學）