一場微信群里的大討論

陳慧華

星期六晚上，我正在看電視，這時(shí)我班微信群里有幾名學(xué)生對一道數(shù)學(xué)題展開了激烈的討論. “導(dǎo)火索”是小A（昵稱“好事者”）的爸爸給他買的課外書《智慧大比拼》中的一道題：已知直角三角形的面積為24 cm2，兩條直角邊的和為14 cm，求該直角三角形的斜邊長.

好事者：要求斜邊長，應(yīng)根據(jù)勾股定理求兩條直角邊的長. 設(shè)其中一條直角邊長為x cm，則另一條直角邊長為（14 - x）cm，根據(jù)“直角三角形的面積為24 cm2”，列方程得[12]x（14 - x） = 24，整理得x2 - 14x + 48 = 0. 這是關(guān)于x的一元二次方程，目前我們還沒有學(xué)到一元二次方程的解法，我實(shí)在計(jì)算不下去了，只好來微信群里求助.

小機(jī)靈：把[12]x（14 - x） = 24變形為x（14 - x） = 48，這樣只要找到兩個(gè)數(shù)，使這兩個(gè)數(shù)的和為14，積為48，就可以求出x. 由于6 × 8 = 48，且6 + 8 = 14，這樣可以求出兩條直角邊的長分別為6和8，由勾股定理不難求出斜邊長為[62+ 82] = [102] = 10 （cm）.

閃電：小機(jī)靈的解法有“瞎貓撞上死耗子”的嫌疑. 我找符合“和為14，積為48”的兩數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)和為14的兩數(shù)比較多，積為48的兩數(shù)也比較多，怎么就想到6和8這兩個(gè)數(shù)呢？這種解法有“拼湊”的嫌疑，不科學(xué).

勇哥：有一種均值設(shè)元法，即如果兩數(shù)m，n滿足m + n = p，那么可設(shè)m = [p2] + t，n = [p2] - t，我們稱這種設(shè)未知數(shù)的方法為均值設(shè)元法. 利用這種方法，根據(jù)“兩條直角邊的和為14 cm”，設(shè)其中一條直角邊長為（7 + t）cm，另一條直角邊長為（7 - t）cm，其中t > 0，再根據(jù)“直角三角形的面積為24 cm2”列方程得[12]（7 + t）（7 - t） = 24，即72 - t2 = 48，則t2 = 1. 由t > 0，可知t = 1，所以兩條直角邊長分別為8 cm和6 cm，由勾股定理不難求出斜邊之長為10 cm.

謙虛：其實(shí)，我們沒有必要把兩條直角邊的長度求出來. 解題目標(biāo)是求出斜邊長，我們只要能求出x2 + （14 - x） 2的值就可以了. 由[12]x（14 - x） = 24，可得x2 - 14x = - 48.由于x2 + （14 - x） 2 = x2 + 196 - 28x + x2 = 2x2 - 28x + 196 = 2（x2 - 14x） + 196 = 2 × （ - 48） + 196 =? - 96 + 196 = 100. 于是斜邊長為10 cm.

沉默：如果設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，是不是更方便呢？

穩(wěn)健：設(shè)兩條直角邊長分別為a cm和b cm，根據(jù)題意，得a + b = 14，[12]ab = 24. 只要根據(jù)這兩個(gè)式子求出a2 + b2的值就行了. 由兩數(shù)和的完全平方公式得（a + b）2 = a2 + b2 + 2ab，由[12]ab = 24得ab = 48，則142 = a2 + b2 + 2 × 48，即a2 + b2 = 100，從而斜邊長為10 cm.

羨慕：這種方法在列出兩個(gè)關(guān)系式后，只要運(yùn)用完全平方公式就能很快求出直角三角形的斜邊長，真是一種簡捷的方法.

沉默 ：這道題既然出自《智慧大比拼》，我們能不能用拼的方法求解呢？

數(shù)學(xué)王子：利用拼圖法證明勾股定理時(shí)，有兩個(gè)比較典型的圖形（如圖1、圖2）. 根據(jù)圖1將四個(gè)全等的直角三角形拼成弦圖，如圖3所示，這是一個(gè)邊長為14 cm的正方形，四個(gè)直角三角形的面積都為24 cm2，正中間是一個(gè)小正方形，這個(gè)小正方形的邊長正好為所求直角三角形的斜邊長. 由于S小正方形 = S大正方形 - 4S直角三角形 = 142 - 4 × 24 = 100（cm2），所以斜邊長為10 cm.

討論過程中不時(shí)有同學(xué)發(fā)出感嘆：“哇，這種方法好簡單啊！”話不說不透，理不辯不明. 通過激烈地討論和踴躍地發(fā)言，同學(xué)們對這類問題的解法有了深刻的認(rèn)識. 我早已按了電視遙控器上的暫停鍵，默默地享受著班級微信群里的智慧盛宴.

（作者單位：廣西壯族自治區(qū)欽州市外國語學(xué)校）