立足數學課堂，培養思維品質

曹勇

[摘? 要] 著名的教育家裴斯泰洛齊提出，積累知識并非教育最重要的任務，教育最重要的任務是發展學生的思維. 在新課改推行的當下，教師都認識到思維訓練對學生的終身可持續性發展具有舉足輕重的影響. 文章認為培養學生數學思維品質的措施有：“一題多解”激發學生思維的廣闊性;“分類討論”培養學生思維的縝密性;“陷阱設置”促進學生思維的深刻性;“正誤辨析”培養學生思維的批判性.

[關鍵詞] 思維;思維品質;課堂

數學思維是指人們對數學現象理性認識的過程，思維能力的高低對課堂教學效率有著直接的影響. 培養學生的數學思維能力要從思維品質的培養上著手，只有形成良好的思維品質，才能從真正意義上實現思維能力的提升. 筆者在近些年對如何在課堂中培養學生的數學思維及品質進行了大量的實踐與研究，并獲得一定的成效.

“一題多解”激發學生思維的廣闊性

數學思維的廣闊性是指學習者能從數學事物的不同層面與視角去觀察與分析問題，用多種辦法找出事物間的內在聯系，避免因思維的片面性與局限性而導致解題障礙. 初中數學與小學相比，更具邏輯性與抽象性，有些學生遇到問題覺得答案呼之欲出，卻又無從下手. 因此，課堂中教師可通過變式訓練、多題一解與一題多解等方式激發學生思維的廣闊性，讓學生充分感知數學領域中“條條道路通羅馬”的神奇魅力，在有效提高學生思維品質的同時提升其數學核心素養.

例1 如圖1所示，已知∠A，∠B，∠C分別為70°，40°，35°，求∠BDC的度數.

本題題干簡潔，條件與結論一目了然，學生讀題審題毫無障礙. 但看似簡單的一道題，卻有多種解題方法，為了拓寬學生的解題思路，讓學生在解題過程中形成良好的思維品質，筆者與學生一起將幾種解題方法羅列出來：

解法1 如圖1所示，延長BD，與AC相交于點E，根據三角形內角和定理可知待求的∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C=145°.

解法2 仿照解法1，將CD延長，與BA相交，用相同的方法可求得∠BDC=145°.

解法3 如圖2所示，過點D作EF∥AC. ∠BDC=∠FDB+∠CDF=∠DEB+∠B+∠C=∠A+∠B+∠C=145°.

解法4 仿照解法3，過點D作EF∥AB，同理可知∠BDC=145°.

解法5 如圖3所示，連接BC. ∠BDC=180°-∠BCD-∠DBC=180°-（180°-∠ABD-∠ACD-∠A）=∠ABD+∠ACD+∠A=145°.

除了以上5種解題方法之外，學生還提出過點B作CD的平行線與AC的延長線相交于點E等方法. 總之，一道簡單的題卻有如此多的解決方法是學生開始沒有想到的，學生在驚嘆數學解題方法的靈活多樣性的同時也開闊了視野，啟發了思維，為形成廣闊性的數學思維品質奠定了基礎.

蘇軾有句經典名詩：“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同.”不僅給人們呈現出不同視角下山的特色，還形象地展示了從不同視角看待數學問題的“一題多解”的核心思想. 隨著思考問題角度的擴大，學生逐漸學會將所學知識融會貫通到一起，在靈活運用中提高自身解題能力與思維品質.

思維的縝密性主要表現在學生分析與解決問題時考慮問題的周全程度，數學本就是一門嚴謹、周密的學科，對學生思維縝密性的要求比較高. 教學中，教師常發現有些學生在分析問題時，常常是顧此失彼、漏洞百出，解題思路模糊，有不少學生用“粗心”來給自己找個臺階下. 實踐證明，學生出現這種問題的根源就在于沒有準確地理解數學概念，無法精準地捕捉到題干中的一些隱含條件，缺乏合理分類討論的能力等.

為此，筆者在教學中著重關注分類討論思想的培養與應用，以幫助學生提升思維的嚴謹性，為學生良好思維品質的形成與核心素養的提升奠定基礎.

例2 已知△ABC是一個等腰三角形，且∠A=50°，求∠C的度數.

這是一道比較簡單的題目，大部分學生很快就給出∠C為80°或65°.

學生獲得這兩個結論的理由是從兩種情況進行分析而來：①∠A是等腰三角形的頂角，剩下的兩個角分別為（180°-50°）÷2=65°;②∠A為等腰三角形的一個底角，∠C為180°-50°×2=80°.

乍一看，學生的解題思路沒有問題，考慮到∠A為頂角與底角兩種情況. 但細細琢磨就會發現學生在將∠A視為底角時，將∠B確定為底角，認為∠C為頂角，但是題中并沒有確切說明這種情況，那么∠C還存在為另一個底角的可能. 因此，還有一種可能就是∠C=50°，這種情況被很多學生忽略了.

此解題漏洞的產生，體現了學生思維缺乏縝密性. 因此，遇到分類討論時，學生不僅要知道正確的分類標準，還要考慮周全，將每一種可能都考慮到，并逐一討論，才能避免思維漏洞的產生.

事實證明，培養學生思維縝密性的核心除了關注分類討論以外，還要注重以下幾點：①完善知識體系，加強基礎知識的學習，如學生解決軌跡問題、反證法問題與充要條件等問題，均需建立在扎實的基礎知識上進行;②結合教材，強化訓練. 尤其要加強易錯題、反例等的訓練，以深化學生對數學概念內涵和外延的理解程度，避免出現以偏概全的現象;③加強師生之間的互動與交流，及時歸因，在錯解中吸取教訓，完善思維.

“陷阱設置”促進學生思維的深刻性

思維的深刻性主要表現在學習者能一眼就看到問題的本質，而不被事物的表面假象所迷惑，它體現了學生思維的邏輯水平與抽象程度. 但每個學生受認知水平的影響，思維會表現出深淺不一的現象，教師該如何在這種差異性中提升每個學生的思維品質呢？事實說明，將問題系列化或在恰當的時候設置一些陷阱，能有效地激起學生的探究欲，讓學生形成深刻性思維.

例3 已知關于x的方程=3-有一個正數解，則b的取值范圍是多少？

大部分學生審題結束即提筆去分母，一個個都表現出胸有成竹的樣子. 解題過程為：

去分母后可得x=3（x-4）+b，計算得x=6-，根據題干條件x為正整數，所以6->0，解得b<12.

此解題過程，乍眼一看毫無毛病，可以說是無懈可擊. 再細細讀題，會發現本題所呈現的方程竟然存在著隱含條件，本方程為分式方程，就要注意分母不能為零. 但學生在解題時，完全沉浸在自我良好感覺中，并沒有注意到這個重要的隱含條件，這也是學生思維不夠深刻的典型表現. 教師通過陷阱的設置，讓學生在“吃一塹，長一智”中不斷總結經驗，從而獲得思維的成長.

“正誤辨析”培養學生思維的批判性

批判性思維是指對自己或他人的做法或觀點通過分析、質疑、比較，達到對問題本質更為全面認識的一種思維模式. 缺乏這種思維能力的人往往會被事物的表象所干擾，出現錯誤的判斷. 想要形成這種思維品質，首先要學會提問，在一個個“為什么”中獲得辨別是非的能力.

例4 已知△DEF三個角相對的邊分別為d，e，f，求證：d=.

不少學生受思維定式的影響，看到本題就選擇用去分母的方式將整式變形，耗費了不少的時間后，發現問題越算越復雜，這種方法根本就沒辦法解決問題. 為了培養學生的批判性思維，筆者引導學生回過頭來從題干條件開始靜心分析，提示學生嘗試用從結論倒推條件的方向來思考.

有學生提出：假設△DEF是一個等邊三角形，我們就可以將三條邊相等的條件代入到待求證的式子中進行反推. 經嘗試，學生很快發現待求證的關系竟然不存在，由此也可說明題目本身就不成立.

此過程，學生在自主探究中進行正誤辨析，很快就發現了問題的癥結所在，為培養學生的批判性思維奠定了堅實的基礎.

總之，數學思維品質遠遠不止上述四種，各種思維品質相輔相成、互相補充與促進. 課堂中，教師應有意識地通過各種教學手段的使用，訓練學生的思維品質，讓學生逐漸形成廣闊、縝密、深刻且具有批判性的數學思維. 當然，思維品質的形成需經歷一個漫長的過程，這就需要教育者有充足的耐心與信心，在潤物細無聲中逐漸滲透，當量變到一定程度必然會產生質的飛躍.