體驗生長過程，感悟數學思想

謝立輝

[摘? 要] 文章以人教版九年級下冊“正切”教學為例，從學生認知的實際出發，根據數學內部知識結構的需要，展現概念的自然生長過程，讓學生在學習概念的過程中，養成主動研究問題、自主解決問題的方式方法，領悟探索數學問題的基本思想方法.

[關鍵詞] 正切;數學思想;初中數學

新課程標準指出，重視數學知識的教學，也應重視知識的生長與延續. 數學概念是構成數學理論體系的基本元素，是學生學習數學的原點. 概念教學應從學生認知的實際出發，根據數學內部知識結構的需要，展現概念的自然生長過程，讓學生在學習概念的過程中，養成主動研究問題、自主解決問題的方式方法，領悟探索數學問題的基本思想方法. 在傳統教學中，重視訓練、以練代講、片面追求課堂容量的現象不同程度地存在，這種教學忽略了數學本質，忽略了學生的主體地位，使學生對知識生長過程的體驗流于形式. 那么，如何在數學概念教學中回歸數學本質，讓學生體驗知識的生長過程，感悟數學的思想，筆者以九年級“正切”概念教學為例嘗試進行說明.

教學實錄

當小球在斜坡上滾動時，哪些量是固定不變的？哪些量是變化的呢？它們分別叫什么呢？在滾動過程中，小球的滾動速度與什么量密切相關？斜坡陡或緩，會引起小球滾動速度與滾動時間的變化. 那么在斜坡的陡峭程度中，存在哪些變化的量？它們之間有什么關系呢？以上問題，就是教師研究的課題.

設計意圖? 從現實問題引入課題，以小球運動為載體，讓學生從熟悉的生活情境中提煉常量與變量，歸納其中變量的依賴關系，容易獲得函數模型的直接體驗. 實際上，本節課研究的正切就是一種函數，它反映了坡角與鉛直高度、水平寬度之間的關系.

師：生活中，同學們不乏爬坡的經歷，如何判定坡面的陡峭程度呢？如圖1所示，請同學們從數學的角度看待爬坡問題，其中，有我們熟知的幾何圖形嗎？

生：判定坡面的陡峭程度，主要看坡面與水平面的夾角，夾角越大說明坡面越陡，夾角越小說明坡面越緩. 在圖1中，有直角三角形存在.

師：圖1中的兩個坡面，哪個更陡一些？為什么？

生：第一個坡面更陡一些，因為它的坡面與水平面的夾角比較大. （板書：角度）

設計意圖? 對于坡面陡峭程度的探究，仍是從生活情境入手，使學生感受數學源于生活，與生活密切相關[1]. 在情境上，筆者沒有花費太多的時間，而是直接把爬坡問題抽象成如圖1所示的圖形，如此，學生可以順利地利用坡面、夾角等詞語表情達意. 同時，在這個生活問題中，筆者充分設疑，把生活問題數學化，幫助學生從感性認識轉化為理性認識，帶著問題去探究，從中學習思考數學問題的方式方法.

師：我們根據坡角的大小可以判定坡面的陡與緩，如果沒有測量角度的工具，只知道兩個臺階的數據（如圖2所示），即臺階1的水平寬度是8，鉛直高度是4，臺階2的水平寬度是8，鉛直高度是6，那么，比較這兩個臺階，哪個臺階更陡呢？

生：第二個臺階比較陡，它們的水平寬度相同，鉛直高度不同，鉛直高度越高的越陡. （板書：水平寬度、鉛直高度）

師：如果已知臺階1的水平寬度是8，鉛直高度是6;臺階2的水平寬度是10，鉛直高度是6.那么這兩個臺階哪個陡呢？

生：第一個臺階比較陡，因為這兩個臺階，鉛直高度相同，水平寬度越大臺階越緩，水平寬度越小的臺階越陡.

設計意圖? 通過兩組臺階的比較，培養學生利用數據說理的能力，要求學生能用規范的數學語言表達數量關系. 這兩組臺階，學生都是根據生活經驗進行判斷，主要用的是合情推理[2].

師：如果已知兩個臺階，第一個臺階水平寬度是8，鉛直高度是4，第二個臺階水平寬度是10，鉛直高度是6，那么這兩個臺階哪個陡一些呢？

此時，學生沒有章法，有的學生根據數據畫出了圖形，發現第二個臺階陡一些，但沒有合適的理由說明. 課堂上一時熱鬧了起來.

設計意圖? 筆者利用這個問題旨在引發學生的認知沖突，此時兩個臺階的水平寬度與鉛直高度都不相同，前面的經驗已經失效. 有的學生把水平寬度化為相同，再比較鉛直高度的大小，有的學生畫出圖形，觀察比較坡度大小. 在學生的合作交流中，學生逐漸學會了轉化的數學思想，以及物理學科中的“控制變量法”.

師：把第一個臺階都擴大5倍，得到水平寬度是40，鉛直高度是20，把第二個臺階都擴大4倍，得到水平寬度是40，鉛直高度是24，顯然第二個臺階比較陡.

師：放大后的圖形與原圖是什么關系呢？為什么說放大后的圖形與原圖坡面的傾斜程度相同呢？

生：放大后的圖形與原圖是相似圖形，因為相似圖形的對應角相等，所以它們的坡角也相同，所以坡面的傾斜程度相同.

師：如果兩個臺階，第一個臺階水平寬度是8，鉛直高度是4，第二個臺階的水平寬度是12，鉛直高度是6，那么這兩個臺階哪個更陡呢？為什么？

生：這兩個臺階的傾斜程度一樣，根據兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似，所以這兩個直角三角形相似，根據相似三角形對應角相等，所以它們的坡角大小一樣，所以這兩個臺階的坡度大小一樣.

此時，筆者板書=，有了直角三角形中兩直角邊的比，于是筆者引入了正切的概念. 在直角三角形中，我們把銳角A的對邊與鄰邊的比，叫∠A的正切，記作tanA.

師：兩個比值相等，即兩個角的正切值相等，所以坡角相等，反之，當兩個坡角相等時，它們的正切值相等嗎？

生：也相等，因為當兩個角分別對應相等時，這兩個直角三角形相似，所以對應邊成比例，即銳角的正切值相等. （板書：因為tanA=tanB，所以∠A=∠B.）

設計意圖? 用正切的新概念解讀坡面的陡峭程度，讓學生歸納用兩種方法比較坡面的傾斜程度，一是比較坡角的大小，二是比較坡角正切值的大小. 這樣一來，不論水平寬度是否相同，鉛直高度是否相同，都可以利用正切值比較坡角的大小，當正切值大時，坡角就大，當正切值小時，坡角就小.

師：請同學們拿出一副三角板，仔細觀察三角板，說說30°、45°、60°角的正切值分別是多少？當角度確定時，它的正切值確定嗎？當角度變化時，它的正切值變化嗎？

生：tan30°=，tan45°=1，tan60°=，所以當角度確定時，它的正切值也就確定了，當角度變化時，它的正切值也變化.

師：在直角三角形ABC中，∠C是直角，已知tanA=，AB=10，求兩條直角邊的長.

……

教學感悟

1. 感性向理性的自然過渡

初中數學課堂在注重學生感性觀察的同時，還要引導學生理性地思考. 有了理性思考才能理解數學的本質[3]. 本節課，筆者從學生身邊的實例出發，讓學生思考其中的變量與常量，從斜面、水平寬度、豎直高度三個方向看坡面的傾斜程度，在實際問題數學化的過程中，學生逐漸發現坡面的傾斜程度由鉛直高度與水平寬度的比值大小決定，在抽象、歸納與建模中，培養了學生發現規律、應用規律解決問題的能力.

2. 形成向發展的自然過渡

本節課展現了正切概念的形成與深化的過程，以及數學規律的發現過程. 筆者把正切概念與相似三角形聯系，從而引出線段的比值，建立了正切的概念. 通過變量之間的相互關系，把正切歸到函數系列，建立了銳角三角函數的概念，實現了知識的形成與發展，學生收獲了知識，延伸了思維，同時也感受了“控制變量法”這一研究方法.

3. 提問向發問的自然過渡

鄭毓信教授指出，數學教學，教師要善于提問. 筆者從生活實例出發，從當水平寬度不同時、當鉛直高度不同時、當兩者都不同時提出問題，層進式的提問符合學生的認知水平，抽絲剝繭式的提問，積累了學生的經驗，激活了學生的思維. 從教師的示范問、學生類比發問、反思發問，實現了教師提問向學生提問的自然過渡.

4. 知識向思想的自然過渡

學生在掌握一定的數學知識后，應具備用數學的眼光看問題，用數學的思想方法解決問題. 在課堂教學中，教師應讓學生實現知識向思想的自然過渡，向學生滲透數學思想方法，如轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想等. 在不斷積累的過程中，能加深學生對于數學思想方法的認識. 在筆者的教學中，通過有梯度的情境，學生逐步領會了轉化的數學思想;通過結合圖形的性質，學生逐步領會了數學結合的數學思想;通過分析特殊角度的比值變化，學生逐步領會了函數思想.

參考文獻：

[1]金燕. 生活實例引入? 問題探究提升——以“正切”一課的教學為例[J].初中數學教與學，2019（08）：23-25.

[2]李東. 經歷與思想并重——“正切（1）”教學實錄與反思[J]. 中學數學月刊，2020（09）：1-3+6.

[3]羅增儒. 銳角正切的教學分析與課例點評[J]. 中學數學教學參考，2019（29）：23-29.