基于學習心理的高中數學錯題教學研究

[摘? 要] 錯題是優質的教學資源，以其為生長契機，融入學習心理，合理追溯根源，在容錯、識錯、糾錯中彰顯育人、育才的內在價值和外在品質，為落實立德樹人根本任務作出努力.

[關鍵詞] 教學做合一;學習心理;數學錯題

現代教育堅持以學生為主體，圍繞著學生的生活經驗，開展教與學的教學工作. 教師教育的目的是讓學生自主學習，學生學習的目的是讓自己會做、會創造. 在高中數學教學實踐中，以錯題為有效抓手，運用逆向思維，積極從學生心理層面，重建與分析其思維、心理、情感、態度等精神結構，在追溯根源、科學矯正、改進模型、豐富經驗等實施過程中，轉變教學思路，增進教學理解，提升教學效能，推動教學績效朝向更高、更優的目標邁進[1]. 下面結合一道錯題來闡述基于學習心理的數學錯題教學.

[?]研究案例

典例 已知a，b是不全為零的實數，求證：方程3ax2+2bx-（a+b）=0在（0，1）內至少有一實根.

1. 創設問題情境，彰顯主體地位

當今高中課堂教學就應試層面而言，教學手段與教學效率有限，各類學生的錯題屢見不鮮. 目前，即便教師普遍重視習題教學，但對錯題資源尚缺乏有效管理手段與方法. 學生對錯題的處置方法普遍局限于錯題整理等范疇，教師亦缺乏對錯題的歸因分析、分類整理、合理利用，同時對學生心理分析、矯正策略等也嚴重不足.

新課改倡導的教學是讓學生走出傳統教材中“死知識”的“牢籠”，引導學生積極主動地參與到教學情境中來，激發其學習、探究的欲望. 拿到題讓學生思考片刻，并分組討論探究，會呈現以下兩種思路：

令f（x）=3ax2+2bx-（a+b），

思路1：用函數零點存在性定理解決，即看f（0）·f（1）的情況.

思路2：用根的分布的知識，討論在（0，1）上有一實根和兩實根這兩種情況.

但最后的結果是兩種思路都以失敗告終.

學生存在困難，并不是因為這些問題的解答太難以致學生無法解決，而是其思維方式或結果與具體問題的解決存在著差異，也就是說，學生的數學思維存在著障礙. 這種思維障礙，有的來自教學中的疏漏，而更多的則來自學生自身，來自學生中存在的非科學的知識結構和思維模式[2].

2. 鼓勵自主探究，在“做”中獲得矯正

高中數學教學中利用錯題資源，予以有效溯源、分析、引領學生成長. 交給學生自己去探究、去發現，可以使他們印象更深，效果自然也會更好. 只有通過“做”才能不斷地使個體體驗到無窮的樂趣并產生“做”的需要，不斷地獲得新的動力，不斷地得到新的發展.

對于思路1，學生存在困難的原因在于計算出f（0）·f（1）=-（a+b）（2a+b）后，其正負符號不能確定，即使要討論也沒有明確的分類標準. 這時教師可以引導學生換一個角度進行思考：既然要證方程3ax2+2bx-（a+b）=0在（0，1）內至少有一實根，這與函數的零點有關，不妨利用二分法來試一試. 這時學生會自然想到計算f

，發現f（0）·f

= -（a+b）·

-a

=a（a+b），f

·f（1）=

-a

·（2a+b），但問題還是不明朗，這時繼續引導學生觀察

-a

（2a+b）與a（a+b）的聯系，爭取找到分類的突破口. 事實上，通過拆項可以發現

-a

·（2a+b）= -a2-a（a+b）. 接下來，只要討論a（a+b）的正負，便可以確定f（0）·f

與f

·f（1）的正負符號. 具體解法如下：

若a=0，則b≠0，此時方程的根為x=，滿足題意.

若a≠0，令f（x）=3ax2+2bx-（a+b），

①若a（a+b）<0，則f（0）·f

=-（a+b）

-a

=a（a+b）<0，所以f（x）在區間

0，

上有一實根;

②若a（a+b）≥0，則f

·f（1）=

-a

（2a+b）=-a2-a（a+b）<0.所以f（x）在區間

，1

上有一實根.

綜上所述，方程3ax2+2bx-（a+b）=0在（0，1）內至少有一實根.

反思上述解法，當學生按照某個固定的程序去解決問題但又無法解決時，就必須引導學生換一種方法或思路去嘗試、去思考，以達到提高學生思維能力的目的.

對于思路2，學生在操作的過程中發現要對a=0，a>0，a<0以及方程在（0，1）內有一根、兩根進行討論，除了分類煩瑣外，具體的每一種情況的結論都不明顯. 這時教師可以引導學生從“正難則反”去思考，用反證法證明如下：

思路3：假設方程在（0，1）內無實根.

若a=0，則b≠0，此時方程的根為x=，與假設矛盾.

若a≠0，因為Δ=4b2+12a（a+b）=12a2+12ab+4b2=12

a+

+b2>0恒成立，所以方程必有兩根，不妨設為x和x，且x

①若x<0，x≤0，則x+x<0?-<0?>0，且x·x≥0?-≥0?+≤0，顯然兩者矛盾.

②若x≥1，x>1，則（x-1）+（x-1）>0?（x+x）-2>0?<-1，且（x-1）（x-1）≥0?x·x-（x+x）+1≥0?≥-，顯然兩者也矛盾.

③若x<0，x>1，設f（x）=3ax2+2bx-（a+b），若a>0，則f（0）≤0?-（a+b）≤0，且f（1）≤0?2a+b≤0，兩者相加得a≤0，與a>0顯然矛盾.

若a<0，同理矛盾.

綜上所述，假設不成立，原命題得證.

以上思路說明，當正面討論情況較多且不易取得好的效果時，可以從反面來思考——用反證法，反面情況雖然也要分類，但學生易于討論，結果明顯，因為用到二次函數圖像時規律明顯，用到韋達定理時簡單易懂.

3. 進行心理分析，促進能力發展

學生在數學學習及解題過程中， 一般會經歷“不懂—好奇—探究—應用”的過程，數學知識應用時不僅常會出現錯誤，而且還會有情緒上的波動，教師也常常通過知識層面對學生的錯題進行正向矯錯[3]. 因此在錯題教學過程中，教師要基于學生的學習心理，充分發揮錯題的資源價值，以錯題為生長契機，引導學生在識錯、糾錯中提高數學學習能力，讓主體在體驗成功的情緒中學習.

學生在初中雖然學過一元二次方程和一元二次函數，但高一的一元二次不等式和二次函數的有關問題，對于學生來說仍是易錯題型. 對于一個新知識所涉及的題型，學生會經歷下列心理認知過程，教師可以及時矯正：

不懂：對于一個新的題型，學生剛開始的感覺就是不懂. 如上述題目，學生感覺不懂的原因是參數較多，特別是二次項系數是參數，給題目增加了難度和易錯因素. 題目中的“至少”又多了一層討論，學生易產生畏難情緒. 基于學生的心理，這時教師應該鼓勵他們嘗試并適時點撥.

好奇：學生經過教師的鼓勵，出于好奇的心理敢于嘗試. 利用自己儲存的知識解題，回憶相應的知識點和解決類似題型的方法. 上述題目的思路1利用的是高一新知識——零點存在性定理和二分法求解，發現不易操作;思路2有初中基礎，易于上手，但討論過于煩瑣，學生嘗試后會發現計算量較大且易錯. 這時教師可以適當提醒和指導解題得分點.

探究：學生嘗試了多種解法后，教師根據學生有可能出現的多種解法進行分析和講解，糾正各種錯誤，給出多種解法的詳細過程并分析優劣，總結和提煉出相應題型的優解. 上述題目中，教師給出最優的解法——思路3的解法，經過分析后，讓學生自行完善解題過程，并請代表上講臺演示加深學生的印象. 多種解法呈現后，繼續讓學生分析和總結各種解法的優點.

應用：學生發現自己的錯誤和錯因后，領會到自己思路的正確解法和其他思路的解法后，會積極地繼續嘗試類似的題型. 這時教師可以呈現變式題讓學生解答，起到舉一反三的效果.

其實，教師還要對錯題的形成進行歸因分類分析，更多的是，要從學生心理方面進行分析，建構系統的錯誤類別及錯誤矯正策略. 這樣教師針對錯題進行認知與矯正，思考錯題教學效果提升的有效手段與方法，使學生體驗學習成功的喜悅.

注重錯題教學，并在錯題研究、心理研究的雙層合力下，轉變教學觀念、合理改造課堂、完善評價手段，促使學生明確學習目標、帶著問題學習，以錯題為生長契機，融入錯題教學的學習心理認知與行為矯正研究，改善學生的學習方法和教師的教學方法.

[?]研究價值

習題教學的目標一般有：順利理解，解答問題;領悟問題的關卡點，解決問題瓶頸;比較問題的不同解法;內化問題的背景知識，優化思維方法，提升敏感能力. 從學習心理規律的角度研究錯題教學，其目的在于樹立以科學的學習心理規律指導教學的實踐模型，為錯題教學尋找有效的突破口，實現其應有的功能和價值.

1. 實踐模型具有突破性、示范性

基于學習心理的錯題研究，旨在運用心理學規律，對教學中重復率最高、最受師生忽視的教學行為（習題教學）和內容（錯題資源）進行研究. 研究具有原創性、突破性與示范性.

2. 學生成長具有針對性、持續性

基于學習心理的錯題研究，旨在利用錯題資源，予以有效溯源、分析、引領學生成長. 幫助學生明確學習目標、帶著問題學習，以錯題為生長契機，融入錯題教學的學習心理認知與行為矯正研究，改善學生的學習方式，推動其發展有針對性和持續性.

3. 教師發展具有創新性、引領性

數學教學中，教師除了關注教學效果外，更要關注學生核心素養的培育與養成;要注重錯題教學，并在錯題研究、心理研究的雙層合力下，轉變教學觀念、合理改造課堂、完善評價手段. 對加快教師角色轉型起到帶動作用，推動教師發展有創新性和引領性，提高課堂教學質量，提升師生素質，落實立德樹人根本任務.

對于數學錯題，學生有聽不懂、難點不易感悟、不會使用不同方法及其優化等原因. 在平時教學中，教師要設置情境，注重知識與方法相結合，引導學生將文字轉化為圖形、問題轉化為方法、關鍵信息轉化為條件，提升學生對未知問題的解決能力，解題過程就是條件反射的過程[4];要鼓勵學生閱讀，強化其思路與能力，讓學生每節課都有感觸，讓學生學會知識的遷移. 平時教師多思考能否讓學生小題大做，向易題要規范;或者大題小做，向難題要過程. 除此之外，教學應以心理學原理作為科學支撐，積極運用學習心理理論，彰顯育人、育才的內在價值和外在品質，實現學生不斷發展.

錯題是優質的教學資源，其存在的前提是學生對應的學習心理，合理追根溯源、科學矯正、改進模型，可以有效推動教學邁上新臺階，促進學生更好、更快發展. 同時，能為教師打開思路，對教學工作提質增效，加快教師成長、成熟. 學習心理和錯題教學的有機結合，不僅有利于學科教學，也能夠提升學生的學習心理品質，達到育人與育才的統一.

參考文獻：

[1]? 吳燕. 例說如何培養學生的思維能力[J]. 高中數學教與學，2011（12）： 24-26.

[2]? 劉萍. 課堂教學如何突破學生數學思維瓶頸[J]. 基礎教育參考，2013（06）：46-47.

[3]? 董育洲. 培養高中學生數學錯題反思能力的實踐研究[J]. 數學教學通訊，2021（12）：36-38.

[4]? 杭麗華. 善待錯誤，有效生成——基于錯誤資源的高中數學教學思考與實踐[J]. 數學教學通訊，2018（09）：17-19.