PCK視域下初高中函數概念銜接教學策略

[摘? 要] PCK（教學內容知識）是數學教師教學必備知識. 以初高中函數概念銜接教學為載體，從MK，PK和CK三個維度，以高中數學課程標準為要求，探討PCK在數學教學過程中的作用.

[關鍵詞] PCK;函數概念;初高中銜接

《普通高中數學課程標準（2017年版2020修訂）》明確指出：數學學科核心素養是“具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現”[1]. 這樣的背景下，數學教師的教育教學理念、教學方法和手段以及教師角色都需要重新定位. 實踐證明，不管采用哪種教學模式，學生主體地位的體現程度都取決于教師的主導作用的發揮，而PCK（教學內容知識）是能夠支持教師體現主導作用并進行有效教學的最直接、最有效的專業知識.? 黃毅英、許世紅明確給出了數學教師教學知識的結構，包括MK（數學知識）、PK（教學法知識）、CK（內容知識）三個部分，是數學教師教學必備知識，而PCK是這些必備知識的公共部分[2].

函數作為初高中銜接的核心知識，不僅在高中知識體系中具有統領作用，而且對于發展學生的抽象思維和符號語言意識、幫助學生建立模型思想具有重要的意義，影響著高中數學中所有函數內容的學習.

[?]從CK的角度來看

CK（內容知識）是指教師具備的數學學科概念及其他知識，即教師要掌握數學概念的本質、內涵和外延以及學科內和學科間的聯系，也就是“教什么”的問題.

1. “課程標準”分析

“初中課程標準”的要求是通過簡單實例，了解函數的概念和三種表示方法[3];“高中課程標準”的要求是通過學生日常生活中熟悉的實例，用變量的關系，從集合的角度描述函數概念，通過學習建立完整的函數概念，深刻理解對應關系和符號的意義.

2. 高中教材分析

（1）高中教材（人教A版，后同）的“函數的概念和性質”位于“一元二次函數”和“冪函數”之間. 通過回顧初中熟悉的一元二次函數模型，再從集合角度學習函數概念和性質，緊跟著學習冪函數，鞏固研究函數的一般思路和方法. 在函數的概念教學中，應該把握概念教學的基本路徑，增強教學的整體性.

（2）注重現實問題情境的設置. 教材通過四個日常生活中的真實情境，引導學生思考“上述問題中的函數有哪些共同特征？”由此概括出函數概念的本質特征. 在豐富的活動情境中，培養學生的數學思維.

（3）例題、習題的設置有梯度，循序漸進地培養學生的抽象能力和建模能力. 教材注重數學內容本身的背景和模型應用，重視發展學生的抽象思維和符號語言意識.

綜合以上分析，高中的“函數概念”對內容知識（CK）有以下要求：

（1）對函數三要素、“集合對應說”的理解不能停留于表面;

（2）掌握函數與方程、不等式之間的密切聯系，課堂問題的設置要呈現梯度;

（3）運用函數觀察、研究事物運動變化規律是一種重要的思想，函數是客觀世界運動變化規律的重要模型;

（4）整體而言，要從整個單元的高度進行函數概念教學，讓學生循序漸進地掌握知識.

[?]從MK的角度來看

MK（數學知識）需要結合學生已有知識和認知水平來分析教學內容，從知識內容、思想方法、能力素養等方面分析學生已經掌握的情況，即教師要掌握學生的最近發展區的情況. 同時，教師要了解學生在高中函數概念學習中可能遇到的知識困難和思維障礙，也就是“學什么”的問題.

1. 知識層面

在初中階段，學生已經從“變量說”層面學習過函數概念，并且學習了一次函數、二次函數、反比例函數的圖像和性質，這是高中階段從“對應說”層面學習函數概念的基礎. 以初中所學的函數知識為基礎，在“預備知識”（必修第一冊第二章）中回顧梳理了二次函數知識. 這樣學生就充分具備了進一步學習函數概念的最近發展區知識. 但是，為什么要重新定義函數概念？如何通過實例體會對應關系的真正含義和函數的抽象符號表示？解答這些問題對學生來說還是比較困難的.

2. 思想方法、核心素養層面

在初中階段，通過具體函數的學習，已經初步培養了學生函數與方程思想、轉化與化歸思想、數形結合思想以及數學建模素養、數學抽象素養. 高中教材在實例分析的基礎上，通過比較、歸納、總結出不同案例的共同特征，建立函數概念，這是在初中階段學習函數的基礎上強化培養學生數學抽象素養的過程. 因此，要讓學生充分觀察、分析、歸納（舍棄無關信息，聚集關鍵特征，獲得共同屬性），形成總結函數概念所需要的素材，然后歸納總結函數三要素，這有助于培養學生的分析能力和創新精神[4]. 構建問題情境解釋函數的對應關系，可以進一步讓學生體會函數的模型應用，強化培養學生的數學建模核心素養.

根據以上分析，筆者認為做好初高中函數概念教學銜接的關鍵是：以初中階段已學的函數知識（變量之間的依賴關系）為基礎，用數集的對應關系來描述函數，建立新的函數定義，理解新定義的必要性，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用.

[?]從PK的角度來看

PK（教學法知識）就是教師在MK和CK的基礎上，具體落實課堂教學內容. 換句話講，就是教師根據MK確定教學重點，根據CK確定教學難點，并有針對性地提出突出重點和突破難點的策略，創設合適的情境，設置合理的問題，利用多種途徑獲取能夠反饋學生學習過程的信息. 綜合各方因素，選擇合適的教學策略，做好相關的概念表征來幫助學生理解數學概念，建立相應的數學概念知識體系，等等. 簡單地說，就是“怎么教”的問題.

1. 用集合與對應語言建立函數概念

（1）具體實例，感知概念

教材中的實例1是“復興號”高速列車行進的路程和運行時間的關系，回顧初中階段所學的“變量說”函數概念，同時強調運行時間的變化范圍;課堂中，教師由此可以提出問題：你認為怎樣描述才能準確反映這個問題情境中的函數？教師在與學生討論的基礎上給出表述的示范.

實例2是工人工資與工作天數的關系，是離散型函數;課堂中，教師可以讓學生模仿實例1給出精確的表述，然后設置“問題串”：問題1，比較實例1與實例2，是同一個函數嗎？問題2，這兩個函數有相同的對應關系，為什么不是同一個函數？問題3，你認為影響兩個函數不同的要素有哪些？引導學生認識到不能只由對應關系相同判定兩個函數相同，促使學生思考怎樣區別不同的函數，進一步認識函數自變量的變化范圍的重要性，歸納概括出函數三要素.

實例3將“空氣質量指數”的函數關系用圖像表示，體會其中的對應關系對學生來說是不容易的. 課堂中，教師必須給學生適當的閱讀思考的時間，可以給出以下幾個問題引導學生思考探索：問題1，根據給出的圖像，你能說出8：00的空氣質量指數值I嗎？你能說出16：00的空氣質量指數值I嗎？問題2，給定任意時刻t，能確定空氣質量指數值I嗎？問題3，給定時間t，如何找到唯一確定的I與它對應？（讓學生在圖上先找出來，再把對應過程表達出來——體會對應關系）問題4，I是t的函數嗎？函數的解析式是什么？問題5，這個函數可以怎樣表示？（體會用符號表示的必要性）問題6，模仿實例1和實例2，你能用集合語言和對應關系來描述這個問題情境中的函數嗎？I的取值范圍無法完全確定，這是學生在初中函數學習中不具備的，教師要適當引導學生可以通過引入一個較大范圍的集合，使函數值“落在范圍內”（為區分函數概念中的集合B和函數的值域做好鋪墊）.

實例4提供的是恩格爾系數表，學生在初中已經知道可以用表格表示函數，實例4能進一步讓學生認識用表格表示函數的對應關系，為函數的符號表示做好了充分的鋪墊.

（2）歸納函數概念

課堂上首先可以設置以下幾個問題：實例1至實例4的四個函數的共同特征有哪些？你能由此總結概括出函數的一般特征嗎？教學中一定要給予充分的時間讓學生總結歸納，當學生遇到困難時教師再適時提醒他們重新回顧實例中對函數的表述，然后師生一起概括出函數的本質特征，最后由教師引導學生總結：我們可以用圖像、表格、解析式等方式表示函數的對應關系. 為了方便統一表述，用符號表示對應關系.

筆者認為，在函數概念教學中，可以設置學生熟悉的日常生活情境，引導學生在多個情境中聚焦共性;可以設置有梯度的問題，引導學生從多個情境中概括出共同特征，總結得到函數的一般特征. 在這個過程中可以落實學生抽象素養的培養.

2. 用具體實例體會對應關系的真正含義

學生對函數概念中的“任意”“唯一”是比較難以理解的，如果教師只是強調這些字眼，然后就進入解題訓練，這樣做的效果是不太好的. 為了讓學生更好地理解函數概念，筆者設置了三個問題：問題1，我們學習了新的函數概念，那你能用新概念解釋舊知識嗎？例如一次函數、二次函數和反比例函數，你會怎樣表述這些函數呢？問題2，你能構建一個問題情境，使其中的變量關系可以用解析式y=x（10-x）來表述嗎？問題3，y=t2（t∈R），y=x2（x∈R）是同一個函數嗎？引導學生從函數的定義與要素進行判斷，加深理解函數符號y=f（x），進一步體會“f”是一種對應關系. 在這個過程中可以落實學生數學建模素養和抽象素養的培養.

總之，作為青年教師，一定要認識到PCK對自身專業成長的重要性. 在平時的教學實踐中，多反思自己的教學過程，從CK，MK，PK三個維度提升自己的能力. 有了豐富的學識，良好的表達能力，并且能站在學生的立場進行思考，自然就會發展出許多不同的教學策略，使用不同的教學表征讓學生理解數學概念.

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]? 劉璇燕. 國內關于學科教學知識（PCK）的研究綜述及其對師資培訓的啟示[J]. 中學數學雜志（初中版），2010（06）：10-13.

[3]? 中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[4]? 章建躍. 第三章“函數的概念與性質”教材介紹與教學建議[J]. 中學數學教學參考，2019（10）：17-24.