探尋小數的本質 培養學生的思維

趙會

“小數的意義”是學生在三年級學習“小數的初步認識”的基礎上教學的。經過幾次教學，總覺得學生對小數的意義理解不夠透。所以，我一直在思考：小數的本質是什么？它與整數、分數之間的聯系是什么？如何引導學生去理解小數的意義呢？帶著對這些問題的思考，我觀看了許多課例，一般的教學思路是借助“米、分米、厘米”和“元、角、分”的情境，抽象并建立十進分數與小數的關系，進而理解小數的意義。最近我有幸聽了遲輝老師教學的“小數的意義”，給我一種全新的感受：在數數中探尋小數的本質，培養了學生的數學思維。

【片段一】

一、復習導入，喚醒學生已有經驗

師：華羅庚說：“數是數出來的。”（伸出5個手指）我們怎么數？

生：1、2、3、4、5一個一個地數。

師：還可以十個十個地數，一百一百地數……

師：這節課我們用數軸再來數數。（出示數軸）

師：（如圖1）把0到1000平均分成10份，我們一百一百地數，10個一百是1000，計數單位是…

生：百。（板書：百）

師：（如圖2）數軸縮短到第一格，把0到100平均分成10份，再放大，十個十個地數，10個十是100，計數單位是…

生：十。（板書：十）

師：（如圖3）數軸縮短到第一格，把0到10平均分成10份，再放大，一個一個地數，10個一是10，計數單位是…

生：一。（板書：一）

師：…“千”“百”“十”“個”是我們用來數數的單位，我們把它叫做計數單位。有沒有最大的計數單位？（沒有）那我們可以繼續數下去嗎？（可以）有沒有最小的計數單位？

當老師拋出這個問題的時候，學生開始出現了分歧，有學生說：有，最小的計數單位是“個”;有學生說：沒有。

師：在數軸的0和1之間點一點，老師在這有個數，它表示什么？

生：是小數。

師：數著數著就數出小數了，你能提出問題嗎？

生1：小數還可以數嗎？

生2：小數有計數單位嗎？

師：帶著這些疑問，這節課我們繼續用數軸再來數數，說不定數著數著我們就有了新發現。

【賞析】以華羅庚說的“數是數出來的”來導入，要數數，就要有數數的單位，也就是計數單位。我們人類最早認識的計數單位“個”，遲老師帶領學生從最原始的數手指開始，再以“個”為起點的基礎上借助數軸的動態演示不斷滿十進一，來數個、十、百……喚醒學生原有的認知，溝通整數計數的相關經驗，為后面小數的探究做好鋪墊。老師在0和1之間點了一個點，這個數表示什么？那么小數是怎么產生的呢？顯然也是計數的需求，當用“個”不能準確地表示一個數量的時候，就產生了更小的計數單位的需求。

【片段二】

二、動手實踐，探索新知

師：（出示探究單）請分一分，從數軸上找到這個點，這個點表示的數是什么？

探究單

（小組合作）先分一分，從數軸上找到這個小數。再思考：

1.你是怎么分的？為什么？

2.小數能不能數？怎么數？

1.小組相互配合探究，老師巡視找出典型。

2.匯報交流：

（1）探究一位小數和兩位小數

學生1展示：我由前面十進制想到將1平均分成10份，其中的一格是，也就是0.1，數出3個格就是0.3，這個點在0.3和0.4之間，我不知道它是什么。（如圖5）

師：這個什么問題，誰來解決？

學生2：探究過程發現平均分成10份以后，一份是，也就是0.1，這個點位于0.3-0.4之間，于是我繼續分，將0.3-0.4的這個0.1又平均分成10份，于是其中的一份就是，也就是0.01。又數出這樣的兩個小格，這個數是0.32。（如圖6）

師：還有疑問嗎？

生3：數到0.3為什么不數0.4而是數0.31呢？

生2解釋：兩個格子的長短不一樣。

師追問：是呀！剛剛是把0.3-0.4平均分成10份，明明是10個小格，怎么是，那100份是從哪里看到的？

學生2解釋：把0.1平均分成10份，而1份有10個0.1，10份就有10個10，就是100份，每份就是，也是0.01。

師：還有別的數法嗎？

生3：我是把0到1這段平均分成100分，一份就是，一個小格一個小格地數，32格就有32個，也就是0.32。（如圖7）

1.點撥小數的計數單位

師：小數有計數單位嗎？

生：有。

師：你認為是什么？

生4：我認為是0.1或0.01，因為剛才我們一直在數有幾個0.1和幾個0.01。

師：對，板書：0.1是（十分之一），0.01是（百分之一），它們是數小數的計數單位。

【賞析】遲老師利用導學單提出0到1之間這個點怎么表示呢？思考：（1）你是怎么分的？為什么？（2）小數能不能數？怎么數？借助整數學習的經驗，學生想到的是把數軸0到1這段平均分成10份，找到一個新的計數單位（0.1），一個0.1一個0.1地數。當發現均分10份還不能找到這個點時，學生會想到把0.1這個單位再次平均分10份，找到另一個新的計數單位（0.01）來數數。在找點的過程中，認識了兩個新的計數單位：0.1和0.01，深切體會了小數的產生源于度量的需求，是不斷細分單位得來的。在數0.32的過程中，老師的提問：“為什么0.3后面不是0.4，而是0.31呢？”再次強調了格子不同，單位就不同。追問：是呀！剛剛是把0.3-0.4平均分成10份，明明是10個小格，怎么是，那100份是從哪里看到的？教師緊緊圍繞計數單位不斷地平均分，深入理解了“計數單位”與數的產生，在數數中感受計數單位的累加，真正體會到了小數的意義，更進一步理解了小數的產生和數的組成之間的緊密聯系。教師提出有效問題為突破口，引發學生思考，進而圍繞關鍵問題進行深度探究，溝通了學生與知識的連接，而且有效培養了數感。

2.練習，鞏固新知（出示數軸）

師：在數軸上認一認、數一數、填一填。

2個是（? ），5個是（? ），7個是（? ），8個是（? ），10個是（? ）。

2個是（? ），也是（? ）;49個是（? ），也是（? ）;

63個是（? ），也是（? ）;它是由6個（? ）和3個（? ）組成。

生匯報：……

小結：像這樣，小數點后面有一位數的小數叫做一位小數，小數點后面有兩位的小數叫做兩位小數。

師：一位小數和兩位小數分別用什么樣的分數來表示？請你認真觀察上面的練習，再來說一說。

生：一位小數是十分之幾，分母是10，兩位小數是百分之幾，分母是100。

【賞析】教師利用練習及時鞏固，觀察發現規律，總結概念，讓知識的形成像流水一樣水到渠成。

【片段三】

3.探究三位小數

師：是最小的計數單位嗎？

生：不是，還可以繼續分。

師：你是怎么想的？

生5：把0.01擴大再平均分成10份，0.1就平均分成了100份，1里面有10個0.1，就是10個100份，也就是1000份，每份是1/1000，就是0.001。

師：那請你找到0.628。

生：獨立完成。

匯報：

生：先找到6個0.1，在0.6和0.7之間再找到2個0.01，再在0.62和0.63之間找到8個0.001，合起來就是0.628。

師：0.628中6表示什么？2表示什么？8表示什么？

生：表示先找到6個0.1，2個0.01和8個0.001。

師：三位小數表示千分之幾，它的計數單位是千分之一。

師：千分之一這小格已經這么小了還能分嗎？

生：能。萬分之一，十萬分之一…

師：能分完嗎？

生：分不完。

師：回過頭來想我們課前的爭論：有最小的計數單位嗎？

生（異口同聲）：沒有。

【賞析】“小數的本質不是簡單地對十分之幾的表述，而是位值計數法的拓展”，那么什么是位值計數法呢？位值計數法是指：“按位值制來計數的方法，即一個數的組成，用一組有順序的數字來表示，每個數字所表示的大小，既取決于它本身的數值，又取決于它所在的位置。”在認識三位小數時，教師對0.628中每個數字所表示的意思的追問，讓學生再次感悟到位值計數法的深刻內涵。

總之，小數的意義教學重點不在于小數是一種特殊的分數，而是在于位值制與“十進”“十分”之間的聯系，這節課遲老師在執教過程中立足于學生的知識起點，以計數單位為核心，以“十進制”為紐帶，課堂上無論是復習整數滿十進一，還是學習小數的退1當十，都緊緊圍繞“十進制”，幫助學生在頭腦中建構了完整的數系。用一條數軸貫穿始終，從已經有的整數拓展到小數，緊緊抓住整數與小數的連接點，帶領學生在數軸上不斷細分單位，在數數的過程中，讓學生感受結構化的數學，結合具體情境，充分理解了小數的本質，有效培養了學生的數感，有效拓寬了學生的思維空間，滲透了極限的數學思想，數學核心素養也得到了進一步提升。