新課標理念下數本質一致性的教學研究

李惠萍

2022年4月21日上午10點，教育部召開新聞發布會，并向大會發布和介紹新修訂的義務教育數學課程方案和語文等16門學科的課程標準。新的方案和標準將在今年秋季開始執行。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）是教材編寫方向標，是課堂教學改革的核心，是教學評價的主要依據。它的頒布標志著新一輪課程改革的開始，只有真正將新課標理念落實在平時的課堂教學中，讓我們自己的教學發生變化，讓我們的孩子發生變化，最終實現《課標（2022年版）》課程理念中所提出三個核心理念，即：人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展，逐步形成適應終身發展需要的核心素養。

《課標（2022年版）》在關于小學數學四大領域之——“數與代數”的課程變化中，強調“整體性和一致性”，指出：對小學階段“數與運算”主題，在理解整數、小數、分數意義的同時，理解整數、小數、分數基于計數單位表達的一致性。在數概念教學中如何來體現這一理念呢？帶著這些問題，筆者帶領昆明市部分學校，廣泛開展了“數本質一致性”研究，并通過義務教育教科書小學數學教材中的五節研究課，包括：一年級下冊“100以內數的認識”、二年級下冊“1000以內數的認識”、三年級下冊“小數的初步認識”、四年級下冊“小數的意義”以及五年級下冊“分數的意義”來溝通數本質一致性的研究。

一、數本質一致性是什么？

小學數學數本質研究的具體內容包括：整數概念、小數概念和分數概念的教學研究，以現行人教版教材為例，具體如下表：

通過數概念教學，讓學生掌握數的意義、數的順序、數的組成和數的大小比較，而這四個方面的內容都是以計數單位為核心進行研究的。如數的意義教學，通過一一對應數出物品數量后，抽象出具體的數，在形式上去掉了數量的名詞，用符號表示數，而在實質上是舍去了事物的背景，使得數具有了一般性，培養學生的數感。通過添一數數，數出了數的順序，產生了自然數數列，知道了自然數的個數是無限的，越往后面數數就越大，而在數數的過程中，由于十進計數法的規定，產生了新的計數單位，有了新的計數單位，就能數出更大的數了。因此，不僅僅是“數起源于數”，而“數”是為了人們表達和刻畫現實世界。華羅庚所說：大哉，數學之為用，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學。宇宙之大可以用自然數來描述宏大世界，然而粒子之微，就要用到小數了。就自然數而言，依據位置值原理，一直向大處擴下去，一個宏大的世界就可以描述了。事物總是兩面的，有宏大世界，必有微小世界，微小世界該怎樣描述呢？小數，從“1”開始依次十等分，一直分下去以至于無窮，微小世界就可以精準刻畫。從應用的角度而言，正因為小數是按照自然數的十進制計數原則創造出來的數，它具有十進制自然數的所有特征，也滿足十進制自然數的運算法則，因而用起來十分方便。這也許就是現實生活中小數的應用遠比分數廣泛的原因。

而“宇宙之大”用自然數來描述宏大世界，整數計數單位隨之形成;“粒子之微”小數的計數單位也隨之形成，用于刻畫微小的世界。小數的意義教學的重點不在于小數是一種特殊的分數，而在于位置記數與“十進”“十分”相同，小數并不是由分數改寫而產生的，而是自然數的十進位置值計數規則加以擴展的結果，它是以10的N次冪為分母的分數的另一種表示形式，是十進制記數向相反方向衍生的結果，其本質上就是十進分數的另一種表現形式。小數和整數在形式上是統一的，小數的出現也使得十進制計數法從整數擴展到了分數，數的內涵更加豐富了。

《課標（2022年版）》將“數與運算”作為“數與代數”領域一塊重要內容，體現數中有運算，運算中有數，數與運算密不可分。并對數與運算的描述為：數與運算包括整數、小數和分數的認識及其四則運算。學生經歷由數量到數的過程，理解和掌握數的概念;經歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法。初步體會數是對數量的抽象，感悟數的概念本質上的一致性，形成數感和符號意識;感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識。

通過研究，將數概念以“計數單位”統領思想繪制了如下的結構圖，并清晰表達出整數、小數、分數之間的本質關聯，便于老師們在教學研究中使用。

通過右面結構圖不難看出，數本質一致性主要表現在兩個方面：一方面數是對數量的抽象，另一方面數是對計數單位多少的表達。

二、整數、小數、分數教學如何體現數本質一致性？

1.在數的意義學習中，滲透“十進制思想”，打通數本質一致性

十進制：是當今世界各國通用的記數進位制。在計數時，每相鄰兩個單位之間的進率都是十，即逢十進一的法則，也稱十進位置制。

“十進制思想”包含了整數數概念、小數數概念關于“數位、計數單位、數的組成、數的數序”的基本知識，把“十進制思想”在一年級就很好培養起來，更好地建立數感，培養符號意識，為后續小數的學習以及整數、小數的運算有著非常重要的意義。那么，對于剛入學的一年級小朋友是否具有十進制思想，我們在學習“10的認識”前進行了前測。

測查一：用小棒表示10？

從這一前測情況來看，結果顯示孩子對“1捆小棒”表示“1個十”的模型完全缺乏學習經驗，頭腦里沒有概念，只清楚用10根小棒的數量表示10的基數意義。因此，讓孩子經歷“1捆小棒”形成的模型，理解“10個一就是1個十”是孩子學習的難點。

測查二：在計數器上撥出10？

從這一前測情況來看，說明孩子基本了解個位和十位的數位概念，但對數位表示的意義比較模糊，特別對十進制思想缺少認知經驗。所以，掌握數位的意義、知道“滿十進一”，這是孩子學習的重點。

通過前測，發現學生在讀數、寫數、熟練程度與對數意義的理解程度有著較大的反差，說明學生在認數的過程中存在著較大的認知缺失。一個一個或幾個幾個數，這種缺失十進制思想對后續繼續認識較大的數以及小數，學習整數、小數運算都有著重要的影響。10的認識繼續讓學生經歷數概念的形成過程，體會數學抽象思想。0-9的數概念教學主要從基數含義、認讀寫、數的順序、序數含義、大小比較、組成這幾個方面加以認識，10的認識繼續鞏固前面所學知識點。而10的認識編排與0-9的認識又有本質的不同：一是突出十進位值制這一核心概念，涉及計數單位“一”和“十”，數位“個位”和“十位”，十進制“10個一就是1個十”，為后續教學打下堅實的基礎;二是10是學生認識的第一個兩位數，它的寫法和前面認識的數不同：它不再是用一個新的符號來表示，而是用前面所學的“1”和“0”這兩個數字符號組合起來。

整數學習中的“十進制思想”對于小數的學習具有較好的遷移作用。小數和整數在形式上的統一，使得十進制計數法從整數擴展到了小數，數的內涵更加豐富了。

2.在數的組成學習中，滲透“位置制思想”，打通數本質一致性

位置制：用阿拉伯數字記數時，每個數字所在的位置不同，表示所含的計數單位就不同，每個數字除了它本身所表示的數值以外，還有位置值，這就是記數的位置原則。“位置制”思想的滲透，不僅可以很好地幫助學生理解“數是對計數單位多少的表達”，而對于后續計算教學中算理的理解也至關重要。例如：

按照數組成的位置原理，三位數乘一位數的運算，其算理就是三位數組成計數單位個數多少的運算。

因此，在整數數概念的教學中，教材在編排上力求通過多種模型圖幫助學生建立“位置制思想，了解數的組成實際是對計數單位多少的表達。如下圖所示：

3.在計數單位的認識中，溝通計數單位統領數概念，打通數本質一致性

《課標（2022年版）》指出：教材中課程內容的設計應凸顯相應知識的數學本質，例如：在小學階段“數與運算”的內容編寫中，數的認識與數的運算均要以“計數單位”作為核心要素統領。華羅庚對于“宇宙之大，粒子之微”的描述，深刻刻畫了整數和小數計數單位的產生。

“100以內數的認識”教學中，教師抓出一把珠子，先讓學生估一估珠子的數量，然后借助數數神器（百格板）讓學生知道10個一排來數，數得更快，不僅激發了學生的學習興趣，還促進了學生數學思維的發展。填滿1格，就是1，填滿1行剛好是10顆珠子，10個一是十，整塊板一共有10行，也就是10個十，合起來是100，培養學生的數感，感受100是更大的數。在學生利用“百格計數板”數數的過程還可以明顯地看出學生先前是以“一”為計數單位數數，而當發現一行有10顆珠子后，就以“十”為計數單位數數更加方便、快捷，感受到了運用計數單位數數的價值，在以“十”為計數單位數數中，得到了“百”這個計數單位，因此，就能得到比100更大的數了。為了體現用更大的數能刻畫自然世界，教師提問：還有比100更大的數嗎？引出數軸箭頭。箭頭和省略號的出現為學習新的計數單位和計數單位疊加得到一個更大的自然數提供了肥沃的土壤。隨著計數數量的增加，數級從低位向高位擴展，自然數的認識便是從10以內數的認識，到20以內數的認識，到100以內數，到千以內的數、萬以內的數、億以的內數、億以上的數的認識不斷擴充下去，以至于無窮，因此，“100以內數的認識”是計數單位價值認識的開篇課，老師們斷不可掉以輕心。

計數單位統領數概念教學過程就是計數單位生長的過程，首先便是引出計數單位（因計數、測量和運算的需要而產生），進而通過數意義的教學，感受計數單位的疊加便產生新的數。教學中應體驗計數單位的價值，通過計數單位打通整數、小數和分數之間的關聯，感悟數都是計數單位個數的疊加。如，在教學“小數的意義”時可以提問：整數有計數單位，小數有計數單位嗎？在教學分數的意義時可以提問：整數和小數都有計數單位，分數有計數單位嗎？用計數單位統領數概念的教學。整數、小數和分數都是以“1”為標準，在此基礎上，不斷地累加就是自然數;以“1”為標準平均分成若干份后，就產生不同的分數;其中均分成10份、100份、1000份……就是小數。整數和小數，通過“1”關聯統一到一個數位順序表上。（如右圖）

如果說整數概念的學習在數數中建立計數單位，那小數數概念和分數數概念的學習，建立在生產和生活中的測量中，當得不到整數“1”的結果時，就要把“1”進行10份10份地分下去，得到了小數的計數單位和分數的計數單位，由于小數是十進分數的特殊形式，因而在這樣的細分中，得到了一位小數、兩位小數……“小數意義”的學習是整個小學階段小數學習的關門課，在打通數概念教學本質上的一致性至關重要。教學中，教師首先關聯整數的計數單位，對比設疑，引出小數的計數單位，通過對三年級學習“米制系統”一位小數的意義，提出“剛才我們得不到1米時，就把1米等分成10份，用分米來表示，如果不能得到整分米的時候我們就繼續把1分米平均分成10份，用厘米來表示，如果還不能得到整厘米數就要等分成毫米來表示;如果還不能得到整毫米數呢……引導學生繼續等分下去，感受越分越小，順勢介紹更小的單位——納米。引導學生在讀“1納米等于一百萬分之一毫米”的感受中體會華羅庚提出的“粒子之微”，而這樣不斷細分下去，更小的小數單位形成，微小的世界就能得以刻畫。因此，“小數意義”的學習，只有結合具體“米制系統”，感受等分越來越小，長度單位就越小，才能更好幫助學生抽象出小數的計數單位而理解小數的含義，通過不斷地推理抽象小數的計數單位，感受小數計數單位個數的疊加能產生新的小數。

對于“分數意義”中分數單位的學習就能從小數計數單位的產生中進行關聯，感受分數的產生和小數產生的一致性，理解分數單位個數的疊加能得到一個新的分數，感受“計數單位”統領數概念的本質。

用“計數單位”做數概念教學的統領，建立數學知識結構，這個知識結構的建立過程實際上是兒童認知結構的形成過程，只有我們教師在數本質一致性上做好研究，才能在“雙減”的大背景下，提高課堂教學效率，真正做到數學核心素養的落地。

【注：本成果系人民教育出版社課程研究所課題研究成果。課題名稱：小學數學核心素養目標達成及評價策略研究。課題批準號：KC2021-022。】