“積”出來的面積:度量視域下“面積”教學(xué)的實踐和思考

郝高峰 何軍華

[摘? 要] 以度量的視角審視當(dāng)下“什么是面積”教學(xué)，存在“三重”“三輕”現(xiàn)象，即重視對面積概念表象的分層建構(gòu)，輕視對概念本質(zhì)的深度探求;重視比較面積大小時的“操作”，輕視其內(nèi)在邏輯的“溝通”;重視對周長和面積概念“異”的辨析，輕視對“同”的梳理。在深度研讀教材的基礎(chǔ)上，文章對北師大版“什么是面積”教學(xué)進(jìn)行思考和實踐，以發(fā)展學(xué)生的度量意識。

[關(guān)鍵詞] 面積;度量;量感;審視;實踐

[?]一、教學(xué)背景

史寧中教授指出，度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)[1]。面積作為對二維空間圖形的度量，其概念建立理應(yīng)立足度量的意義，重視學(xué)生量感的培養(yǎng)。在新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)全國名師工作室教學(xué)設(shè)計與課堂展示“學(xué)會學(xué)習(xí)—發(fā)展學(xué)生‘量感的學(xué)習(xí)方式探索”主題研究活動中，筆者所在學(xué)校的青年教師陳琴琴執(zhí)教北師大版三年級數(shù)學(xué)“什么是面積”一課。磨課過程中總覺得“度量”意識的滲透不夠流暢和深入。無獨有偶，西安市未央?yún)^(qū)某教師打算在大學(xué)區(qū)的教研活動中執(zhí)教此課，試教中也發(fā)現(xiàn)一直迷失在周長與面積的糾葛之中，向筆者尋求解決之法。于是，筆者靜下心來，翻查近年來關(guān)于“什么是面積”教學(xué)的相關(guān)資料，從度量的視域?qū)ζ溥M(jìn)行審視和實踐，以期在促進(jìn)學(xué)生量感形成方面做出有益探索。

[?]二、教學(xué)審視

“面積”是小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域中的一個非常重要的概念。它上承“長度”，下啟“體積”。其中“面積的認(rèn)識”被現(xiàn)行人教版、北師大版和蘇教版教材均安排在了三年級下冊。雖然只有北師大版教材借智慧老人之口明確給出了“物體的表面或封閉圖形的大小就是它們的面積”這樣的描述性概念，但實際另兩版教材也是按照“物體表面”和“封閉圖形”兩個層面引導(dǎo)學(xué)生體會什么是面積的。緊接著三版教材都安排了比較大小相近的兩個矩形（其中北師大版和蘇教版安排了一個正方形）的面積，借此引入度量標(biāo)準(zhǔn)的選擇和初步確定，引導(dǎo)學(xué)生體會用標(biāo)準(zhǔn)圖形的個數(shù)來刻畫圖形的面積。

基于這樣的教材編排，結(jié)合小學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)狀，“面積的認(rèn)識”教學(xué)通常都有兩個基本環(huán)節(jié)：（1）分層體會什么是面積，即聯(lián)系生活，由“物體的表面”有大有小過渡到“封閉圖形”有大有小，從這兩個層面感受它們的大小即面積;（2）操作體悟度量標(biāo)準(zhǔn)如何確立，即通過第三方圖形（小正方形）度量大小相近的矩形的面積，滲透統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)等思想。當(dāng)從度量的視角再次審視當(dāng)下教學(xué)時，不難發(fā)現(xiàn)存在“三重”“三輕”現(xiàn)象。

1.重視對面積概念表象的分層建構(gòu)，輕視對概念本質(zhì)的深度探求

《辭海》（第七版）對“面積”的解釋是：幾何學(xué)的基本度量之一，用以度量平面或曲面上一塊區(qū)域大小的正數(shù)（應(yīng)為非負(fù)數(shù)），通常以邊長是單位長的正方形的面積為度量單位。例如，兩邊長a米和b米的矩形的面積等于ab平方米。可見，就面積度量而言，其本源意義是通過面積單位的“計數(shù)”，實現(xiàn)對圖形大小的“定量刻畫”[2]。所謂面積度量，其一就是要建立度量標(biāo)準(zhǔn)（即確定面積單位），其二就是“量”（liáng）出有幾個這樣的標(biāo)準(zhǔn)。現(xiàn)行教材，特別是教學(xué)中，囿于對學(xué)生現(xiàn)狀的傳統(tǒng)認(rèn)知，教師常花較大力氣引導(dǎo)學(xué)生通過感知物體表面及封閉圖形有大有小，從而分層將面積概念建構(gòu)為“物體表面或封閉圖形的大小”。仔細(xì)思忖，這里所說的“大”“小”是一個非常寬泛的相對概念，并未觸及面積的本質(zhì)。比如數(shù)學(xué)書封面，相對于黑板面來說“小”，相對于楓葉的表面就“大”了。而面積中的“大小”理應(yīng)指一個“值”。

2. 重視比較面積大小時的“操作”，輕視其內(nèi)在邏輯的“溝通”

學(xué)習(xí)面積，必然要走向大小比較。傳統(tǒng)教學(xué)中的邏輯是能直接看出“大”“小”的就直接看;“大”“小”不太容易看出來的就“重疊”著比;“重疊”也不容易比的就找第三方（單位面積，通常選小正方形）來度量。從而出現(xiàn)了“觀察法”“重疊法”“測量法（又分為用單位面積直接測量法和用公式間接測量法）”[3]等諸多方法。這些頗具操作性的方法，一方面使教學(xué)有了一些顯性的“抓手”;但另一方面也使教學(xué)在不知不覺中走入了一個邏輯誤區(qū)，即有些圖形的面積是看出來的，有些圖形的面積是度量出來的。當(dāng)教學(xué)過分強化不同“方法”時，就極有可能忽視其內(nèi)在邏輯。其實，不管是“觀察法”還是“重疊法”，抑或是“測量法”，其實質(zhì)都是先確定一個標(biāo)準(zhǔn)，然后進(jìn)行比較（度量）。另外，用多種工具（如小正方形、小圓形，甚至小三角形等）度量面積相近的兩個矩形時，多強調(diào)選用小正方形作為面積單位的優(yōu)越性（如三角形不好鋪滿，圓形不能密鋪，而正方形最易密鋪），缺少不同單位之間的溝通。

3. 重視對周長和面積概念“異”的辨析，輕視對“同”的梳理

因為學(xué)生在學(xué)習(xí)“面積”之前，先學(xué)習(xí)了“周長”，所以周長概念的負(fù)遷移在學(xué)習(xí)面積時顯現(xiàn)出來在所難免。再加上教學(xué)中簡單地將面積定義為“物體表面及封閉圖形的大小”，學(xué)習(xí)周長時積累的度量經(jīng)驗無法正遷移。于是，學(xué)習(xí)面積時，周長的負(fù)遷移被放大，教師不得不花費更多的時間比對二者。一般會安排多次辨析：一是首次提出面積概念時，引導(dǎo)學(xué)生分別摸一摸面積和周長，強調(diào)“周長一條線，面積一大片”;二是在設(shè)計含有相同個數(shù)小正方形的不同圖形后，觀察發(fā)現(xiàn)這些圖形雖然形狀各不相同，周長也不盡相同，但它們的面積都是一樣的;三是練習(xí)中用典型題目“比較甲、乙兩部分的周長和面積（圖1）”進(jìn)行辨析。縱觀整個辨析過程，傳統(tǒng)教學(xué)中極其重視對二者“異”，即不同點的比較;而對其“同”的方面，即從度量的角度，都是先確定單位，再量出有幾個這樣的單位的本質(zhì)缺少必要的溝通。也就是說，周長要用單位長度度量，面積要用單位面積度量，以后研究體積當(dāng)然要用單位體積來度量了。

[?]三、教學(xué)實踐

張奠宙教授曾經(jīng)指出，面積和長度一樣，也是人與生俱來的直覺。把“大小”作為面積，就如同把“長短”作為長度一樣，并沒有實質(zhì)性的解惑，并不能幫助學(xué)生真正理解面積概念[4]。結(jié)合上文分析，筆者嘗試在深度研讀北師大教材的基礎(chǔ)上，從度量的視角，以量感培養(yǎng)為切入點再次進(jìn)行北師大版“什么是面積”教學(xué)實踐。

1. 基于經(jīng)驗，初“感”面積

作為直覺的“面積”，再加上學(xué)生在日常生活中積累的有關(guān)“面積”的經(jīng)驗，教學(xué)中教師大可直面學(xué)生已有現(xiàn)實。板書“面積”后提問“看到‘面—積，你想到了什么？”通過這一問題，調(diào)動學(xué)生已有經(jīng)驗和主體意識，在交流中明確面積定然和“面”相關(guān)，萌生為什么叫“積”的疑惑，激發(fā)他們進(jìn)一步探究面積的內(nèi)驅(qū)力。

2. 基于標(biāo)準(zhǔn)，三“探”面積

（1）以“面”比“面”，感受面積有“大”有“小”

俗話說，有比較就有鑒別。教學(xué)中，一次性出示教材中三組物體的圖片（圖2）。因為每組物體是成對出現(xiàn)的，學(xué)生會自然產(chǎn)生比較的念頭。教師要做三件事情：第一，引導(dǎo)學(xué)生明確我們要比較的是物體的“面”，即面積，可適時與周長進(jìn)行初步辨析。第二，在學(xué)生用“觀察”“重疊”等方法比較面積大小的過程中滲透“標(biāo)準(zhǔn)”意識。比如，把數(shù)學(xué)書的封面看作標(biāo)準(zhǔn)，語文書和它面積一樣大，反之亦然;把1角硬幣的正面作為標(biāo)準(zhǔn)，1元硬幣面積大;把1元硬幣的正面作為標(biāo)準(zhǔn)，1角硬幣面積小，等等。明確以某個面為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較，可以判斷另一個面的“大”“小”，感受面積有“大”有“小”。第三，在學(xué)生比較過程中初步滲透用“數(shù)”刻畫面積。比如，若把語文書的封面記作“1”，則數(shù)學(xué)書的封面也可記作“1”。這樣，標(biāo)準(zhǔn)（單位）意識的滲透為后續(xù)教學(xué)的順利展開埋下了伏筆——草蛇灰線，伏脈千里！

再者，教學(xué)中可進(jìn)一步隱去這些物體表面的非本質(zhì)屬性，留下長方形、圓形、不規(guī)則的樹葉輪廓等形狀，引導(dǎo)學(xué)生明確這些封閉圖形的面積也有“大”有“小”。

（2）以“面”量“面”，感受用“數(shù)”刻畫面積“大小”的必要性

如果說面積懸殊的兩個圖形讓學(xué)生感受到了面積有“大”有“小”，那么教材中面積較為接近的兩個矩形（圖3），更有利于學(xué)生感受用“數(shù)”刻畫面積“大小”，以及統(tǒng)一面積單位的必要性。

教學(xué)中借助提供的學(xué)具，學(xué)生一般會出現(xiàn)以下幾種比較方式：一是兩者重疊;二是選第三方（小正方形、圓形等）度量（圖4）。這時，要適時引導(dǎo)學(xué)生對比以下三種方法。方法1實質(zhì)上是以重疊長方形為標(biāo)準(zhǔn)先度量了第一次;再把余下的部分重疊，又以第二次重疊部分為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較，得出正方形面積大于長方形面積。此時，正方形面積=第一次重疊面積（標(biāo)準(zhǔn)1）+第二次重疊面積（標(biāo)準(zhǔn)2）+第二次重疊后多出部分;而長方形面積=第一次重疊面積（標(biāo)準(zhǔn)1）+第二次重疊面積（標(biāo)準(zhǔn)2）。方法2則選擇了小正方形作為同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行度量，容易得出：正方形面積=16個小正方形，長方形面積=15個小正方形，易知正方形面積大。方法3以小圓形為標(biāo)準(zhǔn)，可知正方形面積大約是16個圓形面積，長方形面積大約是15個圓形。比較這三個方法，學(xué)生初步感受到大面積都是用小面積“累積”而成的。但方法1中的度量標(biāo)準(zhǔn)在不斷變化，而方法2和3中的度量標(biāo)準(zhǔn)都是不變的，只是因為小圓形不能密鋪矩形，所以度量矩形時選擇小正方形作為標(biāo)準(zhǔn)更為合理。

當(dāng)然，選擇正方形作為度量面積的單位，還有兩件事情要注意：①學(xué)生通常會出現(xiàn)不完全鋪滿即可用乘法“算”出小正方形個數(shù)的，應(yīng)及時對比方法2予以肯定，初步從乘積的角度感受“積”，為從計數(shù)向計算過渡埋下伏筆。②教師可出示不同大小的正方形作為標(biāo)準(zhǔn)度量的情況，引導(dǎo)學(xué)生初步體會統(tǒng)一正方形標(biāo)準(zhǔn)的必要性，為后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)做好鋪墊。

（3）以“面”積“面”，感受“積”出來的面積

在學(xué)生初步感知面積的基礎(chǔ)上，教材適時地安排了“在方格紙上畫3個不同的圖形，使它們的面積都等于7個方格的面積”的練習(xí)。之所以是“7個方格”應(yīng)該有兩個原因：一是“7個方格”不多不少，方便畫圖;二是“7”作為質(zhì)數(shù)，會倒逼學(xué)生畫出非長方形的不規(guī)則圖形，便于體會面積相同，形狀可能不同，從“累積”的角度理解面積的意義。如果選用合數(shù)個，大部分學(xué)生會畫成長方形，不利于多樣化。但筆者恰恰以為可以讓所畫圖形的面積等于“8個方格”的面積（圖5），這樣更有利于后面的比較。一方面，面對形狀各異的圖形，學(xué)生體會到盡管它們各不相同，但面積都是“8個方格”的大小，都是由8個小正方形的面積“累積”出來的;另一方面，用聯(lián)系的觀點發(fā)現(xiàn)它們都可以轉(zhuǎn)化成“2×4”的長方形，即從“乘積”的角度再次滲透計數(shù)到計算的進(jìn)階。這樣，一組素材引導(dǎo)學(xué)生從“累積”和“乘積”兩個角度深刻理解面積是由小面“積”出來的，滲透面積的“有限可加性”和“運動不變性”。至于學(xué)生都畫成長方形的擔(dān)憂稍顯“杞人憂天”，因為題目要求畫3個不同的圖形，再加上教師只需提示“看誰畫出來的圖形與別人不一樣”即可激發(fā)學(xué)生求異的積極性。

3. 基于反思，再“議”面積

經(jīng)歷了上面的活動，學(xué)生對面積的感知就相對深刻了。教師請學(xué)生反思前面的學(xué)習(xí)過程，回顧全課，再“議”面積。此時，至少有兩個話題。其一，再說一說“什么是面積”。學(xué)生所體會的面積就不僅僅是“物體的表面或封閉圖形的大小”，更多的是“面積就是用小面累積出來的”“面積就是圖形中含有小面（單位面積）的個數(shù)”“長方形面積就是長、寬兩條邊上所能擺放小正方形塊數(shù)的乘積”“面積是量出來的”等。這些看似零散的感悟，實際直指面積的本質(zhì)。其二，就是與周長進(jìn)行對比和辨析。引導(dǎo)學(xué)生不僅比較它們的“異”，更要比較二者之“同”，即它們都是用相應(yīng)的單位去度量的結(jié)果。周長是用單位長度去度量，而面積是用單位面積去度量。也就是以“線”量“線”，以“面”積“面”。在度量活動中發(fā)展學(xué)生的“量感”，培養(yǎng)其度量意識。

參考文獻(xiàn)：

[1]? 娜仁格日樂，史寧中. 度量單位的本質(zhì)及小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2018，27（06）：13-16.

[2]? 宋健泳. “面積”單元的教學(xué)重構(gòu)和價值追尋——以度量思想的感悟為視角[J]. 小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2020（11）：64-69.

[3]? 李淑民，姜永春. 把握度量本質(zhì) 破解疑難問題——基于《面積》單元整體分析[J]. 教育實踐與研究（A），2020（11）：62-64.

[4]? 張奠宙. 深入淺出，平易近人——怎樣測量長度、面積和體積[J]. 小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2014（09）：4-6.