“圖形與幾何”課程內容的幾何類型、教學邏輯和育人價值

董銳 席愛勇

摘要 圖形與幾何是義務教育階段學生數學學習的重要領域，從幾何學視角看，主要涉及直觀幾何（實驗幾何）、度量幾何、推理幾何（演繹幾何）、運動幾何（變換幾何）、坐標幾何（解析幾何）和投影幾何六種類型。“圖形與幾何”課程的教學邏輯遵循從直觀走向部分、從一維走向三維、從猜想走向求證、從模糊走向精準。“圖形與幾何”課程的育人價值基于不同幾何類型的特征和它們之間的內在關聯進行統整，有針對性采用多種不同育人方式不斷提升學生量感、幾何直觀、空間觀念和推理意識等數學核心素養。

關? 鍵? 詞 小學數學 圖形與幾何 幾何類型 教學邏輯 育人價值

引用格式 董銳，席愛勇.“圖形與幾何”課程內容的幾何類型、教學邏輯和育人價值[J].教學與管理，2022（26）：37-40.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》于2022年4月正式頒布，這次修訂以核心素養為導向確立課程目標，遴選設計結構化課程內容，明確學業質量標準和課程教學實施要求[1]。“圖形與幾何”是學生數學學習的重要領域，對其課程內容進行幾何類型分析，厘清教學邏輯和學科育人價值，讓新課標修訂思想落地生根，具有很強的現實指導意義。

一、“圖形與幾何”課程內容的幾何類型

小學數學“圖形與幾何”領域課程內容從幾何學視角看，主要涉及直觀幾何、度量幾何、推理幾何（演繹幾何）、運動幾何（變換幾何）、坐標幾何（解析幾何）和投影幾何六種類型[2]。直觀幾何主要包括常見三維立體圖形、二維平面圖形、一維線和零維點的直觀認識和特征關系把握;度量幾何主要包括長度（周長）、角度、面積、體積和容積的度量;推理幾何主要包括三角形基本性質的發現推理過程，常見圖形周長、面積和體積計算公式的推導過程等;運動幾何主要包括軸對稱、平移、旋轉、圖形的放大和縮小等;坐標幾何主要包括位置與方向、用數對確定點的位置、用方向和距離確定物體位置等;投影幾何主要包括能說出立體圖形中的某一個面對應的平面圖形名稱，能根據具體事物、照片或直觀圖辨認從不同角度觀察到的簡單物體，對于簡單物體能辨認不同方向（前面、側面、上面）的形狀圖等。這六種幾何類型，學段之間內容相互關聯、螺旋上升、逐段遞進。各學段具體課程內容和對應幾何類型見表1。

二、“圖形與幾何”課程內容的教學邏輯

1.從整體走向部分

直觀幾何的內容遵循從整體直觀感知走向部分精細分析的教學邏輯[3]。第一學段按照“體—面—線—點”的順序進行整體直觀感知，首先安排長方體、正方體、圓柱和球的整體直觀感知;隨后安排長方形、正方形、平行四邊形、三角形和圓的整體直觀感知;接著安排角和線段的整體直觀感知，都是選用學生身邊熟悉的素材，鼓勵學生動手操作，整體直觀感知立體圖形和平面圖形的特點以及這兩類圖形的關聯，引導學生經歷圖形的抽象過程，積累觀察物體的經驗，形成初步的空間觀念。第二、三學段則按照“點—線—面—體”的順序進行特征、性質、關系和規律的部分精細分析。第二學段首先結合實例認識線段、射線和直線的特征、性質以及它們之間的內在聯系;體會兩點間所有連線中線段最短的規律，知道兩點間距離;會用直尺和圓規作一條線段等于已知線段;了解平面上兩條直線的關系。繼而結合生活情境認識角的各部分名稱，知道角的大小和邊的長短沒有關系;認識三角形和四邊形，會根據圖形特征對三角形和四邊形進行分類。第三學段通過列舉生活中的實例，引導學生概括圓的特點，利用圓規畫圓，加深對圓的理解;借助現實生活中的實物，引導學生通過觀察、操作等活動，認識長方體、正方體、圓柱、圓錐等立體圖形的特征，溝通立體圖形之間的聯系，如圓柱和圓錐的相同點和不同點，以及平面圖形和立體圖形之間的關系，增強空間想象能力。

2.從一維走向三維

度量幾何的內容遵循從一維度量走向三維度量的教學邏輯，依次為教學長度（周長）的度量、角度的度量、面積的度量和體積（容積）的度量。第一學段在教學測量長度時，需要在統一長度單位的基礎上認識長度單位厘米和米，學會估測一些物體的長度，并進行測量。第二學段認識長度單位千米，知道分米、毫米;會用量角器量角;認識面積單位平方厘米、平方分米、平方米，能進行簡單的單位換算;能恰當地選擇單位估測一些物體的長度和面積，會進行測量。第三學段通過實例了解體積（容積）的意義，知道體積（容積）的度量單位，能進行單位之間的換算;體驗不規則物體體積的測量方法。

3.從猜想走向求證

推理幾何的內容一般遵循從大膽猜想走向小心求證的教學邏輯，引導學生經歷發現并大膽提出猜想，運用歸納、演繹、類比、推算等思考方法分析問題，小心求證，最終解決問題并得出結論。例如第二學段探索長方形、正方形的周長和面積的計算公式過程。第三學段“三角形任意兩邊之和大于第三邊”和“三角形內角和是180°”等規律發現推理過程;平行四邊形、三角形、梯形的面積公式推導和計算過程;圓的周長和面積公式推導和計算過程;長方體、正方體、圓柱體的表面積、體積計算過程，以及圓錐體體積公式推導和計算過程等。

4.從模糊走向精準

投影幾何、運動幾何和坐標幾何的內容都遵循從模糊描述走向精準表達的教學邏輯。投影幾何從辨認從一個物體的前、后、左、右觀察到的圖形，到辨認從組合圖形的前面、上面和右面觀察到的圖形，再根據從組合圖形的前面、上面和右面觀察到的圖形想象拼擺出組合圖形等;運動幾何的內容從結合實例，感受平移、旋轉、軸對稱現象，到能在方格紙上進行簡單圖形的平移和旋轉，能在方格紙上補全簡單的軸對稱圖形，以及能利用方格紙按比例將簡單圖形放大或縮小等;坐標幾何從認識位置（上下、前后、左右）與方向（東、南、西、北、東南、西南、東北、西北），到用數對確定點的位置，以及用方向和距離確定物體位置等。

三、“圖形與幾何”課程內容的育人價值

小學數學“圖形與幾何”領域課程內容的育人價值在于基于不同幾何類型的特征和它們之間的內在關聯進行統整，有針對性采用多種不同育人方式不斷提升學生量感、幾何直觀、空間觀念和推理意識等數學核心素養。

1.基于直觀幾何和投影幾何，在觀察操作實驗中發展學生空間觀念和幾何直觀

直觀幾何主要通過觀察操作實驗等方式認識幾何圖形的特征、本質、關系和規律，重在引導學生經歷從實際物體抽象出幾何圖形的過程，認識圖形的特征，感悟點、線、面、體的關系，積累觀察和思考的經驗，逐步形成空間觀念。例如，第一學段安排讓學生通過找一找、分一分、摸一摸、搭一搭等觀察操作，整體直觀感知立體圖形和平面圖形的特征，直觀比較它們之間的異同。第三學段引導學生通過數學實驗來發現“三角形內角和是180°”“圓錐體積是和它等底等高圓柱體積的三分之一”等規律;引導學生從面、棱、頂點等視角進行觀察分析、搭拼操作和展開實驗來全面系統認識長方體、正方體、圓柱體的特征，為后面學習長方體、正方體和圓柱體表面積與體積做好鋪墊。

小學階段，把投影幾何和直觀幾何有機融合，統整在“圖形的認識和測量”主題之中，主要學習平行投影，例如，第二學段要求“能根據具體事物、照片或直觀圖辨認從不同角度觀察到的簡單物體”。第三學段要求“對于簡單物體，能辨認不同方向（前面、側面、上面）的形狀圖”。引導學生在二維和三維的相互變換中促進幾何思維發展，不斷提升空間觀念和幾何直觀。

2.基于度量幾何，在測量實踐中發展學生量感

度量幾何主要通過測量實踐的方式認識幾何圖形的特征、本質、關系和規律，有利于學生借助度量工具進行測量實踐，實現圖形量化的精準分析和表達。在小學階段，重在引導學生體驗度量工具的產生過程、度量單位的統一過程并感受統一度量單位的意義，借助度量工具進行測量實踐獲取度量結果的過程，從而理解圖形長度、角度、周長、面積、體積。在推導一些常見圖形的周長、面積、體積計算方法的過程中，感悟數學度量方法，逐步形成量感和推理意識。例如長度和長度單位、面積和面積單位、角度和角度單位、體積和體積單位都是通過測量實踐來認識的，引導學生理解長方形和正方形的面積、長方體和正方體的體積計算公式推導過程都是基于度量視角展開的。

在小學階段，度量幾何的課程內容沒有單列，而是統整在“圖形的認識和測量”與“綜合與實踐”之中。其中長度（周長）、角度、面積、體積和容積等與圖形的認識關聯度較大，統整在“圖形的認識和測量”主題中;而人民幣、時間、質量等度量與學生日常生活實踐關聯度較大，統整在“綜合與實踐”主題之中，讓學生更好地在用中學、創中學，發展其量感。

3.基于推理幾何，在歸納演繹中發展學生推理意識

推理幾何主要通過推理論證的方式認識幾何圖形的特征、本質、關系和規律，有利于發展學生抓住不同圖形之間的關聯進行直觀想象和推理論證的能力。例如基于公理“兩點之間線段最短”進行演繹推理可以得到“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的結論;從特殊三角形入手，通過直觀操作引導學生歸納出三角形的內角和;平行四邊形、三角形、梯形和圓的面積公式推導過程都是通過與已經學過的圖形建構關聯，類比推理來實現的。

推理幾何在小學階段的課程內容相對較少，沒有單獨列出，而是統整在“圖形的認識和測量”領域里，這樣可以更好與圖形的特征、本質、性質、關系和規律的認識相融合，整體發展學生的數學核心素養。

4.基于運動幾何和坐標幾何，在圖形變換和量化表達中發展學生空間觀念和幾何直觀

運動幾何主要通過平移、旋轉、軸對稱、相似等運動變換方式認識幾何圖形的特征、本質、關系和規律，重在引導學生經歷對現實生活中圖形運動的抽象過程，認識平移、旋轉、軸對稱的特征，體會運動前后圖形的變與不變，感受數學美，逐步形成空間觀念和幾何直觀。例如第二學段主要讓學生初步認識生活中軸對稱、平移和旋轉現象。第三學段則讓學生在方格紙上進行簡單圖形的平移和旋轉;認識軸對稱圖形和對稱軸，能在方格紙上補全簡單的軸對稱圖形，感受圖形變化的特征，動手操作，動腦想象;畫出簡單圖形沿水平或垂直方向平移后的圖形，以及旋轉90°后的圖形，引導學生從平移、旋轉和軸對稱的角度欣賞自然界和生活中的圖案，借助方格紙設計簡單圖案，感受數學的美;引導學生按給定比例將簡單圖形放大或縮小，通過前后圖形的變化，感受比例尺的意義，加深對比、比例的理解。在教學中，教師可以組織運動幾何圖案欣賞、剪紙等綜合實踐活動，引導學生了解圖案中的基本圖形及其變化規律，感知中華優秀傳統文化，增強空間觀念;還可以利用運動幾何知識制作數學板報等形式，呈現學生的創作成果，增強應用意識和創新意識。

坐標幾何是物體或圖形位置的量化表達，在小學主要有平面直角坐標和極坐標兩種方式。平面直角坐標用數對確定點的位置，極坐標用方向和距離確定物體位置。通過圖形位置的表達，幫助學生理解坐標的意義;通過圖形運動的觀察和表達，體會坐標表達的重要性，為未來學習數形結合奠定基礎。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：16-41.

[2] 宋乃慶，張玉成，張于.小學數學基礎[M].重慶：西南師范大學出版社，2019：104.

[3] 席愛勇，李賓.數學多元表征學習的理論與實踐[M].南京：南京大學出版社，2018：45.

*該文為2021年度教育部人文社會科學研究規劃基金項目“多元表征支持的小學數學結構化學習實踐研究”（21YJA880070）、江蘇省教育科學“十三五”規劃2020年度重點自籌課題“多元表征支持下的小學數學結構化學習實踐研究”（ B-b/2020/02/27）的研究成果