對數列錯位相減法求和的探討

秦文波 劉紅梅

[關鍵詞] 數列求和;錯位相減法;差比數列;多項乘比數列

推導等比數列前n項和公式時，幾乎所有高中數學新教材（2019年及以后出版的）都會介紹錯位相減法，但是，同老教材一樣，新教材并沒有對錯位相減法作更深入的介紹，這在某種程度上給許多師生帶來了一些認知上的偏差. 下面，筆者結合自己開展的專項教研活動，就數列錯位相減法求和中一些師生關注的問題作簡要探討.

約定

為了敘述方便，本文有以下兩點約定：

（1）將“一個非零等差數列與一個公比不為1的等比數列對應項之積構成的數列”簡稱為“差比數列”.

探討

探討1：是不是只有差比數列才能用錯位相減法求得前n項和？

因此，錯位相減法并非差比數列的專屬求和方法，某些非差比數列也可用錯位相減法求和.

探討3：用錯位相減法求和時是不是一定要乘公比？

由探討1可知，用錯位相減法求差比數列的前n項和時，第一步是等式兩邊同“乘公比”，其目的是在“錯位”后“對位”，而“對位”是為了整體“并項”，“并項”后就可以借助等比數列的求和公式完成差比數列求和. 因此，“乘公比”是非常重要的操作手段. 下面探討“乘其他實數”的情況.

因此，用錯位相減法求和時，可以在和式兩邊乘不是公比且不等于1的非零實數，只不過要多用一次錯位相減法. 所以，乘公比并非錯位相減法求和的必然要求，只是與乘其他實數相比，乘公比更簡單.

結語

一般地，每一種數學運算方法都有其特定的運算對象和運算規則，錯位相減法也不例外. 對運算對象的深入理解和運算規則的牢固掌握是使用運算方法進行準確運算的前提，每一種運算方法的教學都應在這兩方面深入思考、下足功夫，只有這樣，才能幫助學生形成正確的認知結構. 前述可知，差比數列的前n項和雖然是錯位相減法基本的運算對象，但教師不能將其“窄化”于此;乘公比雖然是錯位相減法最佳的處理方式，但教師不能不講理由地生搬硬套，并且給學生傳達錯誤的觀念.