追溯數列的函數之源

[摘? 要] 數學的發展是和人類物質文明和精神文明的發展交融在一起的，基于數學文化背景下的數學學習，可以使學生在學習數學知識、思想方法的基礎上進一步從科學的視角認識生活、認識世界，有利于學生形成正確的世界觀和人生觀. 古往今來，數列始終是數學研究的重要問題之一，在人類文明誕生最早的四大文明古國的歷史文獻中都有著對數列的記載.數列的產生源于人類生產生活的需要，《普通高中數學課程標準（2017年版）》把數列作為函數主題的內容之一，突顯了數列的函數特征，因而研究者研究數列的單調性、最值時，可以考察數列前后兩項的關系，也可以通過構造函數來處理.

[關鍵詞] 數列;函數特征;單調性;最值

追溯數列本源

數列其實是一個很古老的話題，在人類文明誕生最早的四大文明古國——中國、巴比倫、古希臘、古印度的歷史文獻中都有著對數列的記載.數列的產生源于人類生產生活的需要，當人類的祖先想用一組數按照一定順序記錄某種變化過程或表示某一類事物時，數列就產生了.

事實上，在歐拉給出函數解析式定義并引入函數記號后的漫長時間里，函數并非數學教科書中的核心概念，而數列卻始終是代數教科書的重要內容之一，數列與函數風馬牛不相及. 到了20世紀，函數概念成了中學數學課程核心概念后，數列才逐漸被視為特殊的函數.只是當數列被視為函數后，數列通項的符號才應運而生.

揭示函數特征

《普通高中數學課程標準（2017年版）》把數列作為函數主題的內容之一，指出：數列是一類特殊的函數，是數學重要的研究對象，是研究其他類型函數的基本工具，在日常生活中也有著廣泛的應用. 因為數列是按一定順序排列的一列數，是定義在正整數集或其子集上的特殊函數，因此處理數列的函數特征——單調性問題時，可以考察數列前后兩項的關系，也可以通過構造函數來處理.

1. 數列的單調性及最值問題

數列作為特殊的函數，其單調性的判斷與研究也是特別的，只需要研究相鄰兩項之間的關系即可. 解決數列的單調性問題可用以下三種方法：其一，用作差比較法，根據an+1-an的符號判斷數列{an}是遞增數列、遞減數列或是常數列;其二，用作商比較法，根據與1的大小關系及an的符號進行判斷;其三，結合相應函數的圖像直觀判斷，注意自變量取值為正整數這一特殊條件.

分析：要判定數列項的最大值和最小值，可以先判定數列的變化規律，再根據數列的變化規律考慮數列的最大項和最小項.因為數列和函數有很多可以相通的地方，所以數列問題可以借助函數進行解決，但數列并不等同于函數，因此要注意二者的區別.若從函數角度解決問題，則需要將數列問題抽象為函數問題，利用函數的圖像和性質進行解題.

此處用數學歸納法來探究：

古往今來，數學的發展和人類物質文明和精神文明的發展交融在一起，基于數學文化背景下的數學學習，可以使學生在學習數學知識、思想方法的基礎上進一步從科學的視角認識生活、認識國家、認識世界，有利于學生形成正確的世界觀和人生觀. 教師應有意識地結合相應的教學內容，將數學文化滲透在日常教學中，引導學生了解數學的發展歷程，認識數學在科學技術、社會發展中的作用，激發學生的數學學習興趣，感悟數學的價值，提升學生的科學精神、應用意識和人文素養.

參考文獻：

[1]? 何偉淋，汪曉勤. 數學符號史在高中數學教學中的應用與價值[J]. 中小學數學，2018，05（9-13）.

作者簡介：蔣曉東（1969—），本科學歷，高級教師，從事中學數學教育教學研究工作.