歐幾里得證法中的雙模型

陳一鑫 馬天宇

勾股定理是初中幾何中的重要定理之一，目前約有500種證明方法，由此我們可以看出勾股定理的魅力之大。據(jù)數(shù)學(xué)史料記載，我國(guó)周朝數(shù)學(xué)家商高提出“勾三、股四、弦五”，這說(shuō)明我國(guó)在很早的時(shí)候就有人發(fā)現(xiàn)了勾股定理。而西方最早提出并證明勾股定理的是公元前6世紀(jì)的古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，所以勾股定理在西方也被稱(chēng)為“畢達(dá)哥拉斯定理”。

古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得曾在其著作《幾何原本》中給出勾股定理的證明方法，該方法在“命題47”中呈現(xiàn)，我們一般稱(chēng)其為歐幾里得證法。具體的證明過(guò)程同學(xué)們可以見(jiàn)教材第88頁(yè)中的內(nèi)容——“勾股定理的證明”。

在歐幾里得證法中，我發(fā)現(xiàn)了幾何中經(jīng)常用到的兩個(gè)數(shù)學(xué)模型，一個(gè)是“手拉手”模型，另一個(gè)是“平行等積”模型。

如圖1，當(dāng)AB=BF，BC=BD，并且它們的夾角∠ABF和∠CBD相等時(shí)，就能證得△ABD≌△FBC，這就是我們常用的“手拉手”模型。

如圖2，當(dāng)AB∥CD時(shí)，易得S△ABC=S△ABD，這就是 “平行等積”模型。我們?cè)诤芏鄦?wèn)題中會(huì)用到這個(gè)數(shù)學(xué)模型。進(jìn)一步研究，我們發(fā)現(xiàn)，若AE∥BC，則四邊形ABCE為平行四邊形，則可證得S△ABD=S△ABC=[12]S□ABCE。

在歐幾里得證法中，就用到了以上兩個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)模型。如果我們對(duì)這兩個(gè)數(shù)學(xué)模型非常熟悉的話，那么再去理解歐幾里得證法就很容易了。

教師點(diǎn)評(píng)

勾股定理的證法有很多種，對(duì)于初中生而言，簡(jiǎn)潔、優(yōu)美并且有代表性的證法不是很多。歐幾里得證法是非常有代表性，并且是很有思維訓(xùn)練價(jià)值的證法，但很多初中生感覺(jué)這種證法很難理解和掌握。兩位同學(xué)正是基于這樣的思考，從基本數(shù)學(xué)模型的視角分析歐幾里得證法。我相信他們的解讀會(huì)幫助同學(xué)們更好地理解和掌握歐幾里得證法，并運(yùn)用這兩種數(shù)學(xué)模型解決更多的問(wèn)題。

（指導(dǎo)教師：孫 凱）